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Statistique appliquée aux sciences de la vie
où la valeur testée Λ
∗ pourra être n’importe quelle valeur possible pour Λ (pas
forcément Λ
∗ = 0). La statistique de test de ce test de Wald est donnée par :
T stat =
Λ − Λ
∗
b
π1(1−b π1)
n1
+
b
π0(1−b π0)
n0
où n 1 et n 0 représentent les tailles des deux échantillons,
π 1 et
π 0 les proportions
empiriques, et
Λ =
π 1 −
π 0 la différence de proportion empirique. Ce test de
Wald est en dualité avec un intervalle de confiance de Wald pour Λ. Comme
la distribution de T stat sous H 0 n’est pas exactement normale, il ne s’agit pas
d’un test exact. Le test sera néanmoins valide si n 1 et n 0 sont assez grands, et si
les véritables proportions π 1 et π 0 qui sont comparées ne sont pas trop proches
de 0 ou de 1 (ce sont les mêmes conditions de validité que pour l’intervalle de
confiance dual).
Exemple 9.2 On reprend l’exemple où l’on comparait les proportions de gauchers π 1 chez les garçons et de gauchères π 0 chez les filles, avec H 0 : Λ = 0,
n 1 = 327, n 0 = 332,
π 1 = 0.125,
π 0 = 0.075, et donc
Λ = 0.05. Pour effectuer
un test de Wald, on calcule la statistique de test :
t stat =
0.05
0.125·0.875
327
+
0.075·0.925
332
= 2.14.
On rejette H 0 au seuil de 5 % car |t stat | ≥ 1.96 (test bilatéral). Comme on a
par ailleurs
Λ > 0, on conclut Λ > 0 et donc qu’il y a plus de gauchers chez
les garçons que de gauchères chez les filles. Afin de calculer la valeur p, notons
que |t stat | = 2.14 correspond au quantile 98.4 % d’une distribution normale
standardisée, de sorte que l’on aura p = 2(1 − 0.984) = 0.032 (en retenant deux
décimales dans nos calculs, on obtient exactement le même résultat qu’avec un
test du khi-deux).
Dans le cas particulier où la valeur testée est Λ
∗ = 0, on aura donc le choix
entre un test du khi-deux et un test de Wald. Comme la validité du premier est
en général supérieure à la validité du second, on préférera ici aussi le test du
khi-deux au test de Wald (les résultats des deux tests étant toutefois similaires
pour de grands n 1 et n 0 , comme illustré dans l’exemple précédent)
3 .
3 Ici aussi, il est intéressant de comparer les statistiques de test de ces deux tests. Pour un
test de Wald, on a donc dans ce cas particulier :
Tstat =
b
Λ
q b
π 1 (1−b π 1 )
n 1
+
b
π 0 (1−b π 0 )
n 0
alors que pour un test d’un test du khi-deux, la statistique de test signée est donnée par :
Tstat =
b
Λ
q b
π(1−b π)
n 1
+
b
π(1−b π)
n 0
Statistique appliquée aux sciences de la vie
où la valeur testée Λ
∗ pourra être n’importe quelle valeur possible pour Λ (pas
forcément Λ
∗ = 0). La statistique de test de ce test de Wald est donnée par :
T stat =
Λ − Λ
∗
b
π1(1−b π1)
n1
+
b
π0(1−b π0)
n0
où n 1 et n 0 représentent les tailles des deux échantillons,
π 1 et
π 0 les proportions
empiriques, et
Λ =
π 1 −
π 0 la différence de proportion empirique. Ce test de
Wald est en dualité avec un intervalle de confiance de Wald pour Λ. Comme
la distribution de T stat sous H 0 n’est pas exactement normale, il ne s’agit pas
d’un test exact. Le test sera néanmoins valide si n 1 et n 0 sont assez grands, et si
les véritables proportions π 1 et π 0 qui sont comparées ne sont pas trop proches
de 0 ou de 1 (ce sont les mêmes conditions de validité que pour l’intervalle de
confiance dual).
Exemple 9.2 On reprend l’exemple où l’on comparait les proportions de gauchers π 1 chez les garçons et de gauchères π 0 chez les filles, avec H 0 : Λ = 0,
n 1 = 327, n 0 = 332,
π 1 = 0.125,
π 0 = 0.075, et donc
Λ = 0.05. Pour effectuer
un test de Wald, on calcule la statistique de test :
t stat =
0.05
0.125·0.875
327
+
0.075·0.925
332
= 2.14.
On rejette H 0 au seuil de 5 % car |t stat | ≥ 1.96 (test bilatéral). Comme on a
par ailleurs
Λ > 0, on conclut Λ > 0 et donc qu’il y a plus de gauchers chez
les garçons que de gauchères chez les filles. Afin de calculer la valeur p, notons
que |t stat | = 2.14 correspond au quantile 98.4 % d’une distribution normale
standardisée, de sorte que l’on aura p = 2(1 − 0.984) = 0.032 (en retenant deux
décimales dans nos calculs, on obtient exactement le même résultat qu’avec un
test du khi-deux).
Dans le cas particulier où la valeur testée est Λ
∗ = 0, on aura donc le choix
entre un test du khi-deux et un test de Wald. Comme la validité du premier est
en général supérieure à la validité du second, on préférera ici aussi le test du
khi-deux au test de Wald (les résultats des deux tests étant toutefois similaires
pour de grands n 1 et n 0 , comme illustré dans l’exemple précédent)
3 .
3 Ici aussi, il est intéressant de comparer les statistiques de test de ces deux tests. Pour un
test de Wald, on a donc dans ce cas particulier :
Tstat =
b
Λ
q b
π 1 (1−b π 1 )
n 1
+
b
π 0 (1−b π 0 )
n 0
alors que pour un test d’un test du khi-deux, la statistique de test signée est donnée par :
Tstat =
b
Λ
q b
π(1−b π)
n 1
+
b
π(1−b π)
n 0