9. Tests de Wald et de Student
117
des électeurs votant pour A et où on considère donc π
∗ = 0.5), n = 350 et
π = 0.44. Pour effectuer un test de Wald, on calcule la statistique de test :
t stat =
0.44 − 0.5
0.44·0.56
350
= −2.26.
On rejette H 0 au seuil de 5 % car |t stat | ≥ 1.96 (test bilatéral). Comme on a
par ailleurs
π < 0.5, on conclut π < 0.5 et donc que le candidat B va gagner
les élections. Afin de calculer la valeur p, notons que |t stat | = 2.26 correspond
au quantile 98.8 % d’une distribution normale standardisée, de sorte que l’on
a p = 2(1 − 0.988) = 0.024.
On a vu toutefois que l’hypothèse nulle H 0 : π = π
∗ peut également se
tester avec un test du khi-deux pour une proportion, qui est en dualité avec un
intervalle de confiance de Wilson pour π. De la même manière que la validité
d’un intervalle de confiance de Wilson est en général supérieure à la validité
d’un intervalle de confiance de Wald, la validité d’un test du khi-deux est en
général supérieure à la validité d’un test de Wald
2 . On préférera ainsi le test du
khi-deux au test de Wald, les résultats des deux tests étant toutefois similaires
avec un grand n (dans l’exemple précédent, on a t stat = −2.24 et p = 0.025
avec un test du khi-deux et t stat = −2.26 et p = 0.024 avec un test de Wald).
9.3 Test de Wald pour une différence de
proportion
Lorsqu’il s’agit de comparer deux proportions π 1 et π 0 , on a vu qu’un test
du khi-deux nous permettait de tester l’hypothèse nulle suivante :
H 0 : Λ = 0
où Λ = π 1 − π 0 représente la différence des proportions. Un test de Wald pour
une différence de proportion nous permet de considérer une hypothèse nulle
plus générale de la forme :
H 0 : Λ = Λ
∗
2 Il est par ailleurs intéressant de comparer les statistiques de test de ces deux tests. Pour
un test de Wald, on a donc :
Tstat =
b
π − π ∗
q
b
π(1−b π)
n
alors que pour un test du khi-deux, la statistique de test signée est donnée par :
Tstat =
b
π − π ∗
q
π ∗ (1−π ∗ )
n
.
La différence entre les deux statistiques de test apparaît au dénominateur, c’est-à-dire au
niveau de l’estimation de l’erreur type de b
π, qui vaut en réalité SE(b π) =
p
π(1 − π)/n. Cette
erreur type est estimée empiriquement dans un test du Wald, alors qu’elle est estimée sous
l’hypothèse nulle dans un test du khi-deux, ce qui permet d’améliorer la validité du test.
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des électeurs votant pour A et où on considère donc π
∗ = 0.5), n = 350 et
π = 0.44. Pour effectuer un test de Wald, on calcule la statistique de test :
t stat =
0.44 − 0.5
0.44·0.56
350
= −2.26.
On rejette H 0 au seuil de 5 % car |t stat | ≥ 1.96 (test bilatéral). Comme on a
par ailleurs
π < 0.5, on conclut π < 0.5 et donc que le candidat B va gagner
les élections. Afin de calculer la valeur p, notons que |t stat | = 2.26 correspond
au quantile 98.8 % d’une distribution normale standardisée, de sorte que l’on
a p = 2(1 − 0.988) = 0.024.
On a vu toutefois que l’hypothèse nulle H 0 : π = π
∗ peut également se
tester avec un test du khi-deux pour une proportion, qui est en dualité avec un
intervalle de confiance de Wilson pour π. De la même manière que la validité
d’un intervalle de confiance de Wilson est en général supérieure à la validité
d’un intervalle de confiance de Wald, la validité d’un test du khi-deux est en
général supérieure à la validité d’un test de Wald
2 . On préférera ainsi le test du
khi-deux au test de Wald, les résultats des deux tests étant toutefois similaires
avec un grand n (dans l’exemple précédent, on a t stat = −2.24 et p = 0.025
avec un test du khi-deux et t stat = −2.26 et p = 0.024 avec un test de Wald).
9.3 Test de Wald pour une différence de
proportion
Lorsqu’il s’agit de comparer deux proportions π 1 et π 0 , on a vu qu’un test
du khi-deux nous permettait de tester l’hypothèse nulle suivante :
H 0 : Λ = 0
où Λ = π 1 − π 0 représente la différence des proportions. Un test de Wald pour
une différence de proportion nous permet de considérer une hypothèse nulle
plus générale de la forme :
H 0 : Λ = Λ
∗
2 Il est par ailleurs intéressant de comparer les statistiques de test de ces deux tests. Pour
un test de Wald, on a donc :
Tstat =
b
π − π ∗
q
b
π(1−b π)
n
alors que pour un test du khi-deux, la statistique de test signée est donnée par :
Tstat =
b
π − π ∗
q
π ∗ (1−π ∗ )
n
.
La différence entre les deux statistiques de test apparaît au dénominateur, c’est-à-dire au
niveau de l’estimation de l’erreur type de b
π, qui vaut en réalité SE(b π) =
p
π(1 − π)/n. Cette
erreur type est estimée empiriquement dans un test du Wald, alors qu’elle est estimée sous
l’hypothèse nulle dans un test du khi-deux, ce qui permet d’améliorer la validité du test.