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Statistique appliquée aux sciences de la vie
→ dans le cas d’un rejet de H 0 avec par ailleurs t stat < 0 (et donc
θ < θ
∗ ),
on conclut θ < θ
∗
→ dans le cas d’un rejet de H 0 avec par ailleurs t stat > 0 (et donc
θ > θ
∗ ),
on conclut θ > θ
∗ .
La valeur p se calcule comme suit
1 :
• p = Pr{T stat ≤ t stat } = Φ 0,1 (t stat ) dans un test unilatéral à gauche (t stat
correspond au quantile p d’une distribution normale standardisée)
• p = Pr{T stat ≥ t stat } = Φ 0,1 (−t stat ) dans un test unilatéral à droite (t stat
correspond au quantile 1 − p d’une distribution normale standardisée)
• p = Pr{|T stat | ≥ |t stat |} = 2Φ 0,1 (−|t stat |) dans un test bilatéral (|t stat |
correspond au quantile 1 − p/2 d’une distribution normale standardisée).
Un test de Wald de l’hypothèse nulle H 0 : θ = θ
∗ est en dualité avec un
intervalle de confiance de Wald pour le paramètre θ. Ainsi, un intervalle de
confiance de Wald au niveau 1 − α pour θ contient toutes les valeurs θ
∗ qui ne
sont pas rejetées au seuil α dans un test de Wald bilatéral.
9.2 Test de Wald pour une proportion
Lorsque l’on désire comparer une proportion π avec une valeur de référence
π
∗ , on considère l’hypothèse nulle suivante :
H 0 : π = π
∗ .
La statistique de test d’un test de Wald pour une proportion est donnée par :
T stat =
π − π
∗
b
π(1−b π)
n
où n représente la taille de l’échantillon et
π la proportion empirique. Ce test
de Wald est en dualité avec un intervalle de confiance de Wald pour π. Comme
la distribution de T stat sous H 0 n’est pas exactement normale, il ne s’agit pas
d’un test exact. Le test sera néanmoins valide si n est assez grand et si la valeur
testée π
∗ n’est pas trop proche de 0 ou de 1 (ce sont les mêmes conditions de
validité que pour l’intervalle de confiance dual).
Exemple 9.1 On reprend l’exemple où l’on voulait déterminer quel candidat
A ou B allait gagner les élections, avec H 0 : π = 0.5 (où π dénote la proportion
1 Dans R, on pourra ici calculer la valeur p à partir de la statistique de test tstat par
la commande pnorm(tstat), pnorm(-tstat) ou 2*pnorm(-abs(tstat)), respectivement dans
un test unilatéral à gauche, dans un test unilatéral à droite et dans un test bilatéral.
Statistique appliquée aux sciences de la vie
→ dans le cas d’un rejet de H 0 avec par ailleurs t stat < 0 (et donc
θ < θ
∗ ),
on conclut θ < θ
∗
→ dans le cas d’un rejet de H 0 avec par ailleurs t stat > 0 (et donc
θ > θ
∗ ),
on conclut θ > θ
∗ .
La valeur p se calcule comme suit
1 :
• p = Pr{T stat ≤ t stat } = Φ 0,1 (t stat ) dans un test unilatéral à gauche (t stat
correspond au quantile p d’une distribution normale standardisée)
• p = Pr{T stat ≥ t stat } = Φ 0,1 (−t stat ) dans un test unilatéral à droite (t stat
correspond au quantile 1 − p d’une distribution normale standardisée)
• p = Pr{|T stat | ≥ |t stat |} = 2Φ 0,1 (−|t stat |) dans un test bilatéral (|t stat |
correspond au quantile 1 − p/2 d’une distribution normale standardisée).
Un test de Wald de l’hypothèse nulle H 0 : θ = θ
∗ est en dualité avec un
intervalle de confiance de Wald pour le paramètre θ. Ainsi, un intervalle de
confiance de Wald au niveau 1 − α pour θ contient toutes les valeurs θ
∗ qui ne
sont pas rejetées au seuil α dans un test de Wald bilatéral.
9.2 Test de Wald pour une proportion
Lorsque l’on désire comparer une proportion π avec une valeur de référence
π
∗ , on considère l’hypothèse nulle suivante :
H 0 : π = π
∗ .
La statistique de test d’un test de Wald pour une proportion est donnée par :
T stat =
π − π
∗
b
π(1−b π)
n
où n représente la taille de l’échantillon et
π la proportion empirique. Ce test
de Wald est en dualité avec un intervalle de confiance de Wald pour π. Comme
la distribution de T stat sous H 0 n’est pas exactement normale, il ne s’agit pas
d’un test exact. Le test sera néanmoins valide si n est assez grand et si la valeur
testée π
∗ n’est pas trop proche de 0 ou de 1 (ce sont les mêmes conditions de
validité que pour l’intervalle de confiance dual).
Exemple 9.1 On reprend l’exemple où l’on voulait déterminer quel candidat
A ou B allait gagner les élections, avec H 0 : π = 0.5 (où π dénote la proportion
1 Dans R, on pourra ici calculer la valeur p à partir de la statistique de test tstat par
la commande pnorm(tstat), pnorm(-tstat) ou 2*pnorm(-abs(tstat)), respectivement dans
un test unilatéral à gauche, dans un test unilatéral à droite et dans un test bilatéral.