Chapitre 9
Tests de Wald et de Student
Nous présentons dans ce chapitre des exemples de tests de Wald, ainsi que
les tests de Student et le test de Welch. Ce sont des tests sur la valeur d’un
paramètre, où l’on pourra appliquer les principes vus dans le chapitre précédent.
9.1 Méthode de Wald
On considère une hypothèse nulle sur la valeur d’un paramètre de la forme :
H 0 : θ = θ
∗
où θ représente le paramètre d’intérêt (par exemple une proportion, une différence de proportion, une moyenne ou une différence de moyenne) et θ
∗ dénote
la valeur testée que l’on aimerait rejeter. Un test de Wald consiste à utiliser un
estimateur
θ de θ pour construire la statistique de test qui est définie comme
suit :
T stat =
θ − θ
∗
SE(
θ)
.
Dans le cas particulier (et fréquent) où la valeur testée est θ
∗ = 0, la statistique
de test d’un test de Wald est donc simplement
θ/SE(
θ), l’estimateur divisé par
son erreur type. Si l’estimateur est sans biais et (approximativement) normalement distribué, cette statistique de test aura sous H 0 (approximativement)
une distribution normale standardisée. On rejette ainsi H 0 au seuil α :
• si t stat ≤ z α (si t stat ≤ −1.645 au seuil de 5 %) dans un test unilatéral à
gauche (auquel cas on conclut θ < θ
∗ )
• si t stat ≥ z 1−α (si t stat ≥ 1.645 au seuil de 5 %) dans un test unilatéral à
droite (auquel cas on conclut θ > θ
∗ )
• si |t stat | ≥ z 1−α/2 (si |t stat | ≥ 1.96 au seuil de 5 %) dans un test bilatéral
115
Tests de Wald et de Student
Nous présentons dans ce chapitre des exemples de tests de Wald, ainsi que
les tests de Student et le test de Welch. Ce sont des tests sur la valeur d’un
paramètre, où l’on pourra appliquer les principes vus dans le chapitre précédent.
9.1 Méthode de Wald
On considère une hypothèse nulle sur la valeur d’un paramètre de la forme :
H 0 : θ = θ
∗
où θ représente le paramètre d’intérêt (par exemple une proportion, une différence de proportion, une moyenne ou une différence de moyenne) et θ
∗ dénote
la valeur testée que l’on aimerait rejeter. Un test de Wald consiste à utiliser un
estimateur
θ de θ pour construire la statistique de test qui est définie comme
suit :
T stat =
θ − θ
∗
SE(
θ)
.
Dans le cas particulier (et fréquent) où la valeur testée est θ
∗ = 0, la statistique
de test d’un test de Wald est donc simplement
θ/SE(
θ), l’estimateur divisé par
son erreur type. Si l’estimateur est sans biais et (approximativement) normalement distribué, cette statistique de test aura sous H 0 (approximativement)
une distribution normale standardisée. On rejette ainsi H 0 au seuil α :
• si t stat ≤ z α (si t stat ≤ −1.645 au seuil de 5 %) dans un test unilatéral à
gauche (auquel cas on conclut θ < θ
∗ )
• si t stat ≥ z 1−α (si t stat ≥ 1.645 au seuil de 5 %) dans un test unilatéral à
droite (auquel cas on conclut θ > θ
∗ )
• si |t stat | ≥ z 1−α/2 (si |t stat | ≥ 1.96 au seuil de 5 %) dans un test bilatéral
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