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Statistique appliquée aux sciences de la vie
→ dans le cas d’un rejet de H 0 avec par ailleurs t stat < 0 (et donc
θ < θ
∗ ),
on conclut θ < θ
∗
→ dans le cas d’un rejet de H 0 avec par ailleurs t stat > 0 (et donc
θ > θ
∗ ),
on conclut θ > θ
∗
→ lorsque l’on effectue un test bilatéral, on notera parfois l’hypothèse
alternative par H 1 : θ = θ
∗ .
Exemple 8.1 On reprend l’exemple où l’on compare la proportion π 1 de gauchers chez les garçons et la proportion π 0 de gauchères chez les filles, où hypothèse nulle était donnée par H 0 : Λ = 0, avec Λ = π 1 − π 0 . La statistique de
test signée d’un test du khi-deux pour deux proportions était de t stat = 2.14.
La distribution de la statistique de test signée T stat sous H 0 est ici normale
standardisée. Le tableau A.1 donné en annexe nous indique que t stat = 2.14
correspond au quantile 98.4 % d’une distribution normale standardisée. Ceci
implique les valeurs p et les conclusions suivantes :
• dans un test unilatéral à gauche, on a p = 0.984, de sorte que l’on ne
rejette pas H 0 au seuil de 5 %
• dans un test unilatéral à droite, on a p = 1 − 0.984 = 0.016, de sorte que
l’on rejette H 0 au seuil de 5 % et on conclut Λ > 0
• dans un test bilatéral, on double la plus petite des deux valeurs p ci-dessus
et on obtient p = 2(1 − 0.984) = 0.032, de sorte que l’on rejette H 0 au
seuil de 5 % et on conclut Λ > 0 (car on a t stat > 0 et donc
Λ > 0)
1 .
La valeur p est donc par définition deux fois plus grande dans un test bilatéral que dans un test unilatéral, de sorte qu’il sera plus difficile d’obtenir
un résultat significatif dans un test bilatéral que dans un test unilatéral. On
peut dès lors se demander pourquoi ne pas opter systématiquement pour un
test unilatéral. En fait, on court le risque d’être tenté de choisir la direction
du test unilatéral (à gauche ou à droite) après avoir observé les données, ce
qui invaliderait la procédure. Dans notre exemple ci-dessus, on pourrait être
tenté d’effectuer un test unilatéral à gauche dans les cas où l’on observerait
plus de gauchères chez les filles que de gauchers chez les garçons, et d’effectuer
un test unilatéral à droite dans les cas où l’on observerait plus de gauchers
chez les garçons que de gauchères chez les filles. Dans ces conditions, bien que
l’on prétende effectuer un test au seuil de 5 %, on effectuerait en réalité un
test au seuil de 10 %. En effet, si l’hypothèse nulle était vraie, c’est-à-dire s’il
n’y avait pas de différence entre les proportions de gauchers chez les garçons
et de gauchères chez les filles, on aurait une probabilité de 10 % de démontrer
1 On retrouve ici la valeur p = 0.032 que l’on avait calculée pour cet exemple au chapitre
7. Dans un test du khi-deux, la valeur p obtenue en utilisant la statistique de test originale
correspond donc à la valeur p obtenue en utilisant la statistique de test signée, calculée dans
un test bilatéral (non unilatéral).
Statistique appliquée aux sciences de la vie
→ dans le cas d’un rejet de H 0 avec par ailleurs t stat < 0 (et donc
θ < θ
∗ ),
on conclut θ < θ
∗
→ dans le cas d’un rejet de H 0 avec par ailleurs t stat > 0 (et donc
θ > θ
∗ ),
on conclut θ > θ
∗
→ lorsque l’on effectue un test bilatéral, on notera parfois l’hypothèse
alternative par H 1 : θ = θ
∗ .
Exemple 8.1 On reprend l’exemple où l’on compare la proportion π 1 de gauchers chez les garçons et la proportion π 0 de gauchères chez les filles, où hypothèse nulle était donnée par H 0 : Λ = 0, avec Λ = π 1 − π 0 . La statistique de
test signée d’un test du khi-deux pour deux proportions était de t stat = 2.14.
La distribution de la statistique de test signée T stat sous H 0 est ici normale
standardisée. Le tableau A.1 donné en annexe nous indique que t stat = 2.14
correspond au quantile 98.4 % d’une distribution normale standardisée. Ceci
implique les valeurs p et les conclusions suivantes :
• dans un test unilatéral à gauche, on a p = 0.984, de sorte que l’on ne
rejette pas H 0 au seuil de 5 %
• dans un test unilatéral à droite, on a p = 1 − 0.984 = 0.016, de sorte que
l’on rejette H 0 au seuil de 5 % et on conclut Λ > 0
• dans un test bilatéral, on double la plus petite des deux valeurs p ci-dessus
et on obtient p = 2(1 − 0.984) = 0.032, de sorte que l’on rejette H 0 au
seuil de 5 % et on conclut Λ > 0 (car on a t stat > 0 et donc
Λ > 0)
1 .
La valeur p est donc par définition deux fois plus grande dans un test bilatéral que dans un test unilatéral, de sorte qu’il sera plus difficile d’obtenir
un résultat significatif dans un test bilatéral que dans un test unilatéral. On
peut dès lors se demander pourquoi ne pas opter systématiquement pour un
test unilatéral. En fait, on court le risque d’être tenté de choisir la direction
du test unilatéral (à gauche ou à droite) après avoir observé les données, ce
qui invaliderait la procédure. Dans notre exemple ci-dessus, on pourrait être
tenté d’effectuer un test unilatéral à gauche dans les cas où l’on observerait
plus de gauchères chez les filles que de gauchers chez les garçons, et d’effectuer
un test unilatéral à droite dans les cas où l’on observerait plus de gauchers
chez les garçons que de gauchères chez les filles. Dans ces conditions, bien que
l’on prétende effectuer un test au seuil de 5 %, on effectuerait en réalité un
test au seuil de 10 %. En effet, si l’hypothèse nulle était vraie, c’est-à-dire s’il
n’y avait pas de différence entre les proportions de gauchers chez les garçons
et de gauchères chez les filles, on aurait une probabilité de 10 % de démontrer
1 On retrouve ici la valeur p = 0.032 que l’on avait calculée pour cet exemple au chapitre
7. Dans un test du khi-deux, la valeur p obtenue en utilisant la statistique de test originale
correspond donc à la valeur p obtenue en utilisant la statistique de test signée, calculée dans
un test bilatéral (non unilatéral).