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Statistique appliquée aux sciences de la vie
• pour simplifier l’exposé, on supposera en outre que la distribution de
T stat sous H 0 est symétrique et d’espérance nulle (comme c’est le cas par
exemple pour une distribution normale standardisée).
Dans ces conditions, on pourra choisir entre trois règles différentes de rejet
de l’hypothèse nulle, qui correspondent à un test unilatéral à gauche (en anglais : one-sided test to the left), à un test unilatéral à droite (en anglais :
one-sided test to the right) et à un test bilatéral (en anglais : two-sided
test). Ces trois règles de rejet sont définies comme suit :
• test unilatéral à gauche : on rejette H 0 uniquement dans des cas où
l’on a une trop grande distance négative entre les données et l’hypothèse
nulle
→ on rejette H 0 au seuil α si t stat est plus petit que le quantile α de la
distribution de T stat sous H 0
→ si la distribution de T stat sous H 0 est normale standardisée, on rejette
H 0 au seuil α si t stat ≤ z α (si t stat ≤ −1.645 au seuil de 5 %)
• test unilatéral à droite : on rejette H 0 uniquement dans des cas où
l’on a une trop grande distance positive entre les données et l’hypothèse
nulle
→ on rejette H 0 au seuil α si t stat est plus grand que le quantile 1 − α de
la distribution de T stat sous H 0
→ si la distribution de T stat sous H 0 est normale standardisée, on rejette
H 0 au seuil α si t stat ≥ z 1−α (si t stat ≥ 1.645 au seuil de 5 %)
• test bilatéral : on rejette H 0 à la fois dans des cas où l’on a une trop
grande distance négative, et dans des cas où l’on a une trop grande distance positive entre les données et l’hypothèse nulle
→ on rejette H 0 au seuil α si |t stat | est plus grand que le quantile 1 − α/2
de la distribution de T stat sous H 0
→ si la distribution de T stat sous H 0 est normale standardisée, on rejette
H 0 au seuil α si |t stat | ≥ z 1−α/2 (si |t stat | ≥ 1.96 au seuil de 5 %).
Le calcul de la valeur p (illustré par la figure 8.1) se fait de la manière suivante :
• test unilatéral à gauche
→ la valeur p est définie par p = Pr{T stat ≤ t stat }
→ t stat correspond au quantile p de la distribution de T stat sous H 0
→ si p ≤ α, on rejette H 0 : θ = θ
∗ au seuil α et on conclut θ < θ
∗
→ il sera par contre impossible de conclure θ > θ
∗
→ lorsque l’on effectue un test unilatéral à gauche, on notera parfois
l’hypothèse alternative par H 1 : θ < θ
∗
Statistique appliquée aux sciences de la vie
• pour simplifier l’exposé, on supposera en outre que la distribution de
T stat sous H 0 est symétrique et d’espérance nulle (comme c’est le cas par
exemple pour une distribution normale standardisée).
Dans ces conditions, on pourra choisir entre trois règles différentes de rejet
de l’hypothèse nulle, qui correspondent à un test unilatéral à gauche (en anglais : one-sided test to the left), à un test unilatéral à droite (en anglais :
one-sided test to the right) et à un test bilatéral (en anglais : two-sided
test). Ces trois règles de rejet sont définies comme suit :
• test unilatéral à gauche : on rejette H 0 uniquement dans des cas où
l’on a une trop grande distance négative entre les données et l’hypothèse
nulle
→ on rejette H 0 au seuil α si t stat est plus petit que le quantile α de la
distribution de T stat sous H 0
→ si la distribution de T stat sous H 0 est normale standardisée, on rejette
H 0 au seuil α si t stat ≤ z α (si t stat ≤ −1.645 au seuil de 5 %)
• test unilatéral à droite : on rejette H 0 uniquement dans des cas où
l’on a une trop grande distance positive entre les données et l’hypothèse
nulle
→ on rejette H 0 au seuil α si t stat est plus grand que le quantile 1 − α de
la distribution de T stat sous H 0
→ si la distribution de T stat sous H 0 est normale standardisée, on rejette
H 0 au seuil α si t stat ≥ z 1−α (si t stat ≥ 1.645 au seuil de 5 %)
• test bilatéral : on rejette H 0 à la fois dans des cas où l’on a une trop
grande distance négative, et dans des cas où l’on a une trop grande distance positive entre les données et l’hypothèse nulle
→ on rejette H 0 au seuil α si |t stat | est plus grand que le quantile 1 − α/2
de la distribution de T stat sous H 0
→ si la distribution de T stat sous H 0 est normale standardisée, on rejette
H 0 au seuil α si |t stat | ≥ z 1−α/2 (si |t stat | ≥ 1.96 au seuil de 5 %).
Le calcul de la valeur p (illustré par la figure 8.1) se fait de la manière suivante :
• test unilatéral à gauche
→ la valeur p est définie par p = Pr{T stat ≤ t stat }
→ t stat correspond au quantile p de la distribution de T stat sous H 0
→ si p ≤ α, on rejette H 0 : θ = θ
∗ au seuil α et on conclut θ < θ
∗
→ il sera par contre impossible de conclure θ > θ
∗
→ lorsque l’on effectue un test unilatéral à gauche, on notera parfois
l’hypothèse alternative par H 1 : θ < θ
∗