Chapitre 8
Test statistique sur la valeur
d’un paramètre
Dans sa formulation originale, la statistique de test utilisée dans un test du
khi-deux est une mesure de la distance globale entre les données et l’hypothèse
nulle, qui est par définition positive, l’hypothèse nulle étant rejetée si cette
distance est trop grande. On va voir dans ce chapitre que lorsque l’hypothèse
nulle implique la valeur d’un (et d’un seul) paramètre, on pourra utiliser une
statistique de test signée qui aura selon les cas une valeur positive ou une valeur
négative. On pourra alors distinguer si la distance entre les données et l’hypothèse nulle est « trop grande positivement » ou « trop grande négativement »,
ce qui impliquera deux conclusions différentes. On pourra en outre faire dans
ce cas la distinction entre un test unilatéral et un test bilatéral. On verra également dans ce chapitre le principe de dualité entre un test statistique bilatéral
sur la valeur d’un paramètre et un intervalle de confiance pour ce paramètre.
8.1 Test unilatéral et test bilatéral
On considère ici le cas général d’un test statistique d’une hypothèse nulle
sur la valeur θ
∗ d’un paramètre θ de la forme :
H 0 : θ = θ
∗ .
On suppose que l’on dispose d’une statistique de test t stat signée (c’est-à-dire
admettant des valeurs positives ou négatives) avec les propriétés suivantes :
• t stat < 0 implique
θ < θ
∗
• t stat > 0 implique
θ > θ
∗
• t stat = 0 implique
θ = θ
∗ (ce qui correspond au cas où les données
reproduisent à la lettre l’hypothèse nulle)
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Test statistique sur la valeur
d’un paramètre
Dans sa formulation originale, la statistique de test utilisée dans un test du
khi-deux est une mesure de la distance globale entre les données et l’hypothèse
nulle, qui est par définition positive, l’hypothèse nulle étant rejetée si cette
distance est trop grande. On va voir dans ce chapitre que lorsque l’hypothèse
nulle implique la valeur d’un (et d’un seul) paramètre, on pourra utiliser une
statistique de test signée qui aura selon les cas une valeur positive ou une valeur
négative. On pourra alors distinguer si la distance entre les données et l’hypothèse nulle est « trop grande positivement » ou « trop grande négativement »,
ce qui impliquera deux conclusions différentes. On pourra en outre faire dans
ce cas la distinction entre un test unilatéral et un test bilatéral. On verra également dans ce chapitre le principe de dualité entre un test statistique bilatéral
sur la valeur d’un paramètre et un intervalle de confiance pour ce paramètre.
8.1 Test unilatéral et test bilatéral
On considère ici le cas général d’un test statistique d’une hypothèse nulle
sur la valeur θ
∗ d’un paramètre θ de la forme :
H 0 : θ = θ
∗ .
On suppose que l’on dispose d’une statistique de test t stat signée (c’est-à-dire
admettant des valeurs positives ou négatives) avec les propriétés suivantes :
• t stat < 0 implique
θ < θ
∗
• t stat > 0 implique
θ > θ
∗
• t stat = 0 implique
θ = θ
∗ (ce qui correspond au cas où les données
reproduisent à la lettre l’hypothèse nulle)
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