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Statistique appliquée aux sciences de la vie
où n représente la taille de notre échantillon dans lequel on a calculé l’estimateur
π de π. Rappelons que l’on rejette H 0 au seuil α si t stat ≥ χ
2
1−α,1 . En utilisant
le même raisonnement que dans la section précédente, un test du khi-deux pour
une proportion peut également s’effectuer en utilisant comme statistique de test
la racine carrée de la statistique originale (multipliée par le signe de
π − π
∗ ),
qui est une statistique de test signée définie par :
T stat =
√
n ·
π − π
∗
π ∗ (1 − π ∗ )
où l’on rejette H 0 au seuil α si |t stat | ≥ z 1−α/2 . L’utilisation de cette statistique
de test signée nous permet d’identifier dans quelle direction on rejette H 0 :
• dans le cas d’un rejet de H 0 avec par ailleurs t stat < 0 (et donc
π < π
∗ ),
on conclut π < π
∗
• dans le cas d’un rejet de H 0 avec par ailleurs t stat > 0 (et donc
π > π
∗ ),
on conclut π > π
∗ .
Exemple 7.4 On reprend l’exemple ci-dessus où l’on compare la proportion π
des voies obtenues par le candidat A avec la proportion de référence π
∗ = 0.5,
l’hypothèse nulle étant H 0 : π = 0.5. On avait n = 350 et
π = 0.44. On retrouve
la statistique de test originale d’un test du khi-deux pour une proportion en la
calculant comme suit :
t stat =
350(0.44 − 0.5)
2
0.5 · 0.5
= 5.04.
On comparait t stat = 5.04 avec χ
2
0.95,1 = 3.84. De façon équivalente, on peut
calculer une statistique de test signée comme suit :
t stat = −
√
5.04 =
√
350 ·
0.44 − 0.5
√
0.5 · 0.5
= −2.24
et comparer |t stat | = 2.24 avec z 0.975 = 1.96. Comme |t stat | ≥ 1.96, on rejette
H 0 au seuil de 5 %. Comme on a ici t stat < 0 (et donc
π < 0.5), on peut
en outre conclure π < 0.5. On a donc prouvé statistiquement non seulement
que les candidats A et B n’obtiendront pas tous deux 50 % des voix, mais que
le candidat A obtiendra moins de 50 % des voix (autrement dit, que c’est le
candidat B qui va gagner les élections).
Statistique appliquée aux sciences de la vie
où n représente la taille de notre échantillon dans lequel on a calculé l’estimateur
π de π. Rappelons que l’on rejette H 0 au seuil α si t stat ≥ χ
2
1−α,1 . En utilisant
le même raisonnement que dans la section précédente, un test du khi-deux pour
une proportion peut également s’effectuer en utilisant comme statistique de test
la racine carrée de la statistique originale (multipliée par le signe de
π − π
∗ ),
qui est une statistique de test signée définie par :
T stat =
√
n ·
π − π
∗
π ∗ (1 − π ∗ )
où l’on rejette H 0 au seuil α si |t stat | ≥ z 1−α/2 . L’utilisation de cette statistique
de test signée nous permet d’identifier dans quelle direction on rejette H 0 :
• dans le cas d’un rejet de H 0 avec par ailleurs t stat < 0 (et donc
π < π
∗ ),
on conclut π < π
∗
• dans le cas d’un rejet de H 0 avec par ailleurs t stat > 0 (et donc
π > π
∗ ),
on conclut π > π
∗ .
Exemple 7.4 On reprend l’exemple ci-dessus où l’on compare la proportion π
des voies obtenues par le candidat A avec la proportion de référence π
∗ = 0.5,
l’hypothèse nulle étant H 0 : π = 0.5. On avait n = 350 et
π = 0.44. On retrouve
la statistique de test originale d’un test du khi-deux pour une proportion en la
calculant comme suit :
t stat =
350(0.44 − 0.5)
2
0.5 · 0.5
= 5.04.
On comparait t stat = 5.04 avec χ
2
0.95,1 = 3.84. De façon équivalente, on peut
calculer une statistique de test signée comme suit :
t stat = −
√
5.04 =
√
350 ·
0.44 − 0.5
√
0.5 · 0.5
= −2.24
et comparer |t stat | = 2.24 avec z 0.975 = 1.96. Comme |t stat | ≥ 1.96, on rejette
H 0 au seuil de 5 %. Comme on a ici t stat < 0 (et donc
π < 0.5), on peut
en outre conclure π < 0.5. On a donc prouvé statistiquement non seulement
que les candidats A et B n’obtiendront pas tous deux 50 % des voix, mais que
le candidat A obtiendra moins de 50 % des voix (autrement dit, que c’est le
candidat B qui va gagner les élections).