7. Tests du khi-deux pour tables de contingence
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Exemple 7.3 Prenons l’exemple où l’on aimerait montrer que les deux candidats A et B en lice lors d’une élection n’obtiendront pas le même nombre de
voix. On aimerait rejeter l’hypothèse nulle donnée par :
H 0 : il y a 50 % de votes pour A et 50 % de votes pour B
qui est équivalente à l’hypothèse nulle suivante :
H 0 : π = 0.5
où π dénote la proportion des voix obtenues par le candidat A, et où l’on a donc
π
∗ = 0.5. Supposons que parmi n = 350 personnes interrogées et représentatives
de la population des électeurs, 154 disent qu’ils voteront pour A et 196 disent
qu’ils voteront pour B, de sorte que l’on aura les fréquences observées suivantes :
candidat A candidat B
total
154
196
350
44 %
56 %
100 %
Si nos données reproduisaient à la lettre l’hypothèse nulle, on aurait par ailleurs
les fréquences attendues suivantes :
candidat A candidat B
total
175
175
350
50 %
50 %
100 %
On calcule alors la statistique de test suivante :
t stat =
(154 − 175)
2
175
+
(196 − 175)
2
175
= 5.04.
La distribution de T stat sous H 0 est une distribution du khi-deux avec 1 dl. On
compare donc t stat avec χ
2
0.05,1 = 3.84 et on rejette l’hypothèse nulle au seuil de
5 % (un logiciel statistique nous donnera p = 0.025 ; autrement dit, la valeur
t stat = 5.04 correspond au quantile 97.5 % d’une distribution du khi-deux avec
1 dl). On conclut que les candidats A et B n’obtiendront pas tous deux 50 %
des voix (c’est-à-dire que la proportion π des voies obtenues par le candidat A
ne sera pas 50 %).
Ici aussi, la statistique de test originale que l’on avait définie par :
T stat =
2
i=1
(O i − E i )
2
E i
peut être alternativement calculée comme suit :
T stat =
n( π − π
∗ )
2
π ∗ (1 − π ∗ )
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Exemple 7.3 Prenons l’exemple où l’on aimerait montrer que les deux candidats A et B en lice lors d’une élection n’obtiendront pas le même nombre de
voix. On aimerait rejeter l’hypothèse nulle donnée par :
H 0 : il y a 50 % de votes pour A et 50 % de votes pour B
qui est équivalente à l’hypothèse nulle suivante :
H 0 : π = 0.5
où π dénote la proportion des voix obtenues par le candidat A, et où l’on a donc
π
∗ = 0.5. Supposons que parmi n = 350 personnes interrogées et représentatives
de la population des électeurs, 154 disent qu’ils voteront pour A et 196 disent
qu’ils voteront pour B, de sorte que l’on aura les fréquences observées suivantes :
candidat A candidat B
total
154
196
350
44 %
56 %
100 %
Si nos données reproduisaient à la lettre l’hypothèse nulle, on aurait par ailleurs
les fréquences attendues suivantes :
candidat A candidat B
total
175
175
350
50 %
50 %
100 %
On calcule alors la statistique de test suivante :
t stat =
(154 − 175)
2
175
+
(196 − 175)
2
175
= 5.04.
La distribution de T stat sous H 0 est une distribution du khi-deux avec 1 dl. On
compare donc t stat avec χ
2
0.05,1 = 3.84 et on rejette l’hypothèse nulle au seuil de
5 % (un logiciel statistique nous donnera p = 0.025 ; autrement dit, la valeur
t stat = 5.04 correspond au quantile 97.5 % d’une distribution du khi-deux avec
1 dl). On conclut que les candidats A et B n’obtiendront pas tous deux 50 %
des voix (c’est-à-dire que la proportion π des voies obtenues par le candidat A
ne sera pas 50 %).
Ici aussi, la statistique de test originale que l’on avait définie par :
T stat =
2
i=1
(O i − E i )
2
E i
peut être alternativement calculée comme suit :
T stat =
n( π − π
∗ )
2
π ∗ (1 − π ∗ )