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Statistique appliquée aux sciences de la vie
• dans le cas d’un rejet de H 0 avec par ailleurs t stat > 0 (et donc
Λ > 0),
on conclut Λ > 0.
Exemple 7.2 On reprend l’exemple ci-dessus où l’on compare la proportion π 1
de gauchers chez les garçons et la proportion π 0 de gauchères chez les filles, avec
comme hypothèse nulle H 0 : Λ = 0, où Λ = π 1 − π 0 . On avait donc n 1 = 327,
n 0 = 332,
π 1 = 41/327 = 0.125,
π 0 = 25/332 = 0.075 et
Λ = 0.125 − 0.075 =
0.05. On a ainsi :
π =
327 · 0.125 + 332 · 0.075
327 + 332
=
66
659
= 0.1.
On retrouve la statistique de test originale d’un test du khi-deux pour deux
proportions en la calculant comme suit :
t stat =
327 · 332
327 + 332
·
0.05
2
0.1 · 0.9
= 4.58.
On comparait t stat = 4.58 avec χ
2
0.95,1 = 3.84. De façon équivalente, on peut
calculer une statistique de test signée comme suit :
t stat = +
√
4.58 =
332 · 327
332 + 327
·
0.05
√
0.1 · 0.9
= 2.14
et comparer |t stat | = 2.14 avec z 0.975 = 1.96. Comme |t stat | ≥ 1.96, on rejette
H 0 au seuil de 5 %. Comme on a ici t stat > 0 (et donc
Λ > 0), on peut en
outre conclure Λ > 0. On a donc prouvé statistiquement non seulement que la
distribution gauchers/droitiers n’est pas la même chez les garçons et chez les
filles, mais qu’il y a plus de gauchers chez les garçons que de gauchères chez
les filles.
7.4 Comparaison d’une proportion avec valeur
de référence
L’application d’un test du khi-deux pour la comparaison de la distribution
d’une variable qualitative et d’une distribution de référence avec I = 2 valeurs
possibles revient à comparer une proportion π avec une proportion de référence π
∗ , donnée par exemple dans la littérature (ou d’un intérêt particulier).
L’hypothèse nulle sera alors simplement :
H 0 : π = π
∗ .
Dans ce qui suit, nous appellerons ce cas particulier de test du khi-deux un test
du khi-deux pour une proportion.
Statistique appliquée aux sciences de la vie
• dans le cas d’un rejet de H 0 avec par ailleurs t stat > 0 (et donc
Λ > 0),
on conclut Λ > 0.
Exemple 7.2 On reprend l’exemple ci-dessus où l’on compare la proportion π 1
de gauchers chez les garçons et la proportion π 0 de gauchères chez les filles, avec
comme hypothèse nulle H 0 : Λ = 0, où Λ = π 1 − π 0 . On avait donc n 1 = 327,
n 0 = 332,
π 1 = 41/327 = 0.125,
π 0 = 25/332 = 0.075 et
Λ = 0.125 − 0.075 =
0.05. On a ainsi :
π =
327 · 0.125 + 332 · 0.075
327 + 332
=
66
659
= 0.1.
On retrouve la statistique de test originale d’un test du khi-deux pour deux
proportions en la calculant comme suit :
t stat =
327 · 332
327 + 332
·
0.05
2
0.1 · 0.9
= 4.58.
On comparait t stat = 4.58 avec χ
2
0.95,1 = 3.84. De façon équivalente, on peut
calculer une statistique de test signée comme suit :
t stat = +
√
4.58 =
332 · 327
332 + 327
·
0.05
√
0.1 · 0.9
= 2.14
et comparer |t stat | = 2.14 avec z 0.975 = 1.96. Comme |t stat | ≥ 1.96, on rejette
H 0 au seuil de 5 %. Comme on a ici t stat > 0 (et donc
Λ > 0), on peut en
outre conclure Λ > 0. On a donc prouvé statistiquement non seulement que la
distribution gauchers/droitiers n’est pas la même chez les garçons et chez les
filles, mais qu’il y a plus de gauchers chez les garçons que de gauchères chez
les filles.
7.4 Comparaison d’une proportion avec valeur
de référence
L’application d’un test du khi-deux pour la comparaison de la distribution
d’une variable qualitative et d’une distribution de référence avec I = 2 valeurs
possibles revient à comparer une proportion π avec une proportion de référence π
∗ , donnée par exemple dans la littérature (ou d’un intérêt particulier).
L’hypothèse nulle sera alors simplement :
H 0 : π = π
∗ .
Dans ce qui suit, nous appellerons ce cas particulier de test du khi-deux un test
du khi-deux pour une proportion.