7. Tests du khi-deux pour tables de contingence
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Notons que la statistique de test originale d’un test du khi-deux pour deux
proportions, que l’on avait définie par :
T stat =
2
i=1
2
j=1
(O ij − E ij )
2
E ij
peut être alternativement calculée comme suit :
T stat =
n 1 n 0
n 1 + n 0
·
Λ
2
π(1 −
π)
où n 1 et n 0 représentent les tailles des échantillons dans lesquels on calcule les
estimateurs
π 1 et
π 0 de π 1 et π 0 , et où l’on définit :
π =
n 1
π 1 + n 0
π 0
n 1 + n 0
( π étant ainsi une moyenne de
π 1 et
π 0 , pondérée par l’importance des échantillons). Rappelons que l’on rejette H 0 au seuil α si t stat ≥ χ
2
1−α,1 . Or, on peut
montrer qu’une distribution normale standardisée pour une variable Y implique
une distribution du khi-deux avec dl = 1 degré de liberté pour la variable Y
2 .
On a ainsi :
χ
2
1−α,1 = z
2
1−α/2
avec par exemple :
χ
2
0.95,1 = 3.84 = 1.96
2 = z
2
0.975 .
Dire que :
t stat ≥ χ
2
1−α,1
revient donc à dire que :
√
t stat ≥ z 1−α/2 .
Un test du khi-deux pour deux proportions peut dès lors également s’effectuer
en utilisant comme statistique de test la racine carrée de la statistique de test
originale (multipliée par le signe de
Λ), c’est-à-dire :
T stat =
n 1 n 0
n 1 + n 0
·
Λ
π(1 −
π)
où l’on rejette H 0 au seuil α si |t stat | ≥ z 1−α/2 . Contrairement à la statistique
de test originale qui admettait seulement des valeurs positives, cette nouvelle
statistique de test admet des valeurs positives ou négatives. Il s’agit d’une
statistique de test signée (comme on le verra dans le chapitre suivant) qui nous
permet d’identifier dans quelle direction on rejette une hypothèse nulle, la règle
étant la suivante :
• dans le cas d’un rejet de H 0 avec par ailleurs t stat < 0 (et donc
Λ < 0),
on conclut Λ < 0