98
Statistique appliquée aux sciences de la vie
distribution d’une variable binaire entre deux groupes, c’est-à-dire à comparer
deux proportions que l’on notera comme d’habitude π 1 et π 0 . L’hypothèse nulle
sera alors simplement :
H 0 : Λ = 0
où Λ = π 1 − π 0 . Dans ce qui suit, nous appellerons ce cas particulier de test du
khi-deux un test du khi-deux pour deux proportions.
Exemple 7.1 On reprend l’exemple où l’on voulait comparer les proportions
de gauchers chez les garçons et de gauchères chez les filles. On considère l’hypothèse nulle donnée par :
H 0 : la distribution gauchers/droitiers est la même chez garçons et filles
qui est équivalente à l’hypothèse nulle suivante :
H 0 : Λ = 0
où Λ = π 1 − π 0 est la différence entre la proportion de gauchers π 1 chez les
garçons et la proportion de gauchères π 0 chez les filles. À partir de n 1 = 327
garçons et n 0 = 332 filles, on avait les fréquences observées suivantes :
gauchers
droitiers
garçons 41 (12.5 %) 286 (87.5 %) 327 (100 %)
filles
25 (7.5 %) 307 (92.5 %) 332 (100 %)
total
66 (10 %)
593 (90 %)
659 (100 %)
Si nos données reproduisaient à la lettre l’hypothèse nulle, on aurait par ailleurs
les fréquences attendues suivantes :
gauchers
droitiers
garçons 32.75 (10 %) 294.25 (90 %) 327 (100 %)
filles
33.25 (10 %) 298.75 (90 %) 332 (100 %)
total
66 (10 %)
593 (90 %)
659 (100 %)
On calcule alors la statistique de test suivante :
tstat =
(41 − 32.75)
2
32.75
+
(286 − 294.25)
2
294.25
+
(25 − 33.25)
2
33.25
+
(307 − 298.75)
2
298.75
= 4.58.
La distribution de T stat sous H 0 est une distribution du khi-deux avec 1 dl. On
compare donc t stat = 4.58 avec χ
2
0.95,1 = 3.84 et on rejette l’hypothèse nulle au
seuil de 5 % (un logiciel statistique nous donnera p = 0.032 ; autrement dit, la
valeur t stat = 4.58 correspond au quantile 96.8 % d’une distribution du khi-deux
avec 1 dl). On conclut que la distribution gauchers/droitiers n’est pas la même
chez les garçons et chez les filles (c’est-à-dire que la différence de proportion Λ
n’est pas nulle).
Statistique appliquée aux sciences de la vie
distribution d’une variable binaire entre deux groupes, c’est-à-dire à comparer
deux proportions que l’on notera comme d’habitude π 1 et π 0 . L’hypothèse nulle
sera alors simplement :
H 0 : Λ = 0
où Λ = π 1 − π 0 . Dans ce qui suit, nous appellerons ce cas particulier de test du
khi-deux un test du khi-deux pour deux proportions.
Exemple 7.1 On reprend l’exemple où l’on voulait comparer les proportions
de gauchers chez les garçons et de gauchères chez les filles. On considère l’hypothèse nulle donnée par :
H 0 : la distribution gauchers/droitiers est la même chez garçons et filles
qui est équivalente à l’hypothèse nulle suivante :
H 0 : Λ = 0
où Λ = π 1 − π 0 est la différence entre la proportion de gauchers π 1 chez les
garçons et la proportion de gauchères π 0 chez les filles. À partir de n 1 = 327
garçons et n 0 = 332 filles, on avait les fréquences observées suivantes :
gauchers
droitiers
garçons 41 (12.5 %) 286 (87.5 %) 327 (100 %)
filles
25 (7.5 %) 307 (92.5 %) 332 (100 %)
total
66 (10 %)
593 (90 %)
659 (100 %)
Si nos données reproduisaient à la lettre l’hypothèse nulle, on aurait par ailleurs
les fréquences attendues suivantes :
gauchers
droitiers
garçons 32.75 (10 %) 294.25 (90 %) 327 (100 %)
filles
33.25 (10 %) 298.75 (90 %) 332 (100 %)
total
66 (10 %)
593 (90 %)
659 (100 %)
On calcule alors la statistique de test suivante :
tstat =
(41 − 32.75)
2
32.75
+
(286 − 294.25)
2
294.25
+
(25 − 33.25)
2
33.25
+
(307 − 298.75)
2
298.75
= 4.58.
La distribution de T stat sous H 0 est une distribution du khi-deux avec 1 dl. On
compare donc t stat = 4.58 avec χ
2
0.95,1 = 3.84 et on rejette l’hypothèse nulle au
seuil de 5 % (un logiciel statistique nous donnera p = 0.032 ; autrement dit, la
valeur t stat = 4.58 correspond au quantile 96.8 % d’une distribution du khi-deux
avec 1 dl). On conclut que la distribution gauchers/droitiers n’est pas la même
chez les garçons et chez les filles (c’est-à-dire que la différence de proportion Λ
n’est pas nulle).