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Statistique appliquée aux sciences de la vie
7.2 Comparaison d’une distribution qualitative
avec distribution de référence
Le test du khi-deux vu dans la section précédente s’utilise notamment lorsqu’il s’agit de comparer la distribution d’une variable qualitative entre deux
groupes. On va voir dans cette section un test du khi-deux qui nous permet
de comparer la distribution d’une variable qualitative avec une distribution de
référence, donnée par exemple dans la littérature.
Nous reprenons pour cela l’exemple introduit au chapitre 2 à propos des
groupes sanguins récoltés auprès de n = 158 individus d’une population du
nord de l’Europe. Nous avions les fréquences observées suivantes :
groupe O groupe A groupe B groupe AB
total
82
62
10
4
158
52 %
39 %
6 %
3 %
100 %
L’hypothèse scientifique d’une telle étude sera par exemple que la distribution
des groupes sanguins dans cette population du nord de l’Europe diffère de
celle de la France, où l’on a (selon la littérature) 43 % de groupe O, 45 % de
groupe A, 9 % de groupe B et 3 % de groupe AB. On essaiera alors de rejeter
l’hypothèse nulle suivante :
H 0 : il y a 43 % de groupe O, 45 % de groupe A,
9 % de groupe B et 3 % de groupe AB.
Pour ce faire, on utilise une idée similaire à celle vue dans la section précédente. Si nos données respectaient à la lettre l’hypothèse nulle, les fréquences
attendues sous l’hypothèse nulle seraient les suivantes :
couleurs des yeux différentes revient à dire que la distribution de la couleur des yeux est la
même dans des populations aux couleurs des cheveux différentes (et vice versa). Ces deux
hypothèses nulles sont également équivalentes à l’hypothèse nulle suivante :
H 0 : les variables « couleur des cheveux » et « couleur des yeux » sont indépendantes.
Cette hypothèse nulle nous dit que le fait de connaître la couleur des yeux d’un écolier ne
nous informe en rien sur sa couleur des cheveux, de même que le fait de connaître la couleur des cheveux d’un écolier ne nous informe en rien sur sa couleur des yeux. Ainsi, le test
du khi-deux que l’on voit dans cette section est parfois appelé « test d’indépendance pour
variables qualitatives ». Notons par ailleurs que ces trois hypothèses nulles nous suggèrent
trois façons différentes d’échantillonner les données. La première nous suggère d’échantillonner parmi 4 populations d’écoliers aux couleurs des yeux différentes et de mesurer la couleur
des cheveux ; la deuxième d’échantillonner parmi 5 populations d’écoliers aux couleurs des
cheveux différentes et de mesurer la couleur des yeux ; la troisième d’échantillonner parmi
une population d’écoliers et de mesurer à la fois la couleur des cheveux et la couleur des yeux
(ce qui a été fait dans cet exemple). L’équivalence de ces trois hypothèses nulles implique que
l’on peut appliquer ce même test du khi-deux, quelle que soit la façon dont on a échantillonné
les données.
Statistique appliquée aux sciences de la vie
7.2 Comparaison d’une distribution qualitative
avec distribution de référence
Le test du khi-deux vu dans la section précédente s’utilise notamment lorsqu’il s’agit de comparer la distribution d’une variable qualitative entre deux
groupes. On va voir dans cette section un test du khi-deux qui nous permet
de comparer la distribution d’une variable qualitative avec une distribution de
référence, donnée par exemple dans la littérature.
Nous reprenons pour cela l’exemple introduit au chapitre 2 à propos des
groupes sanguins récoltés auprès de n = 158 individus d’une population du
nord de l’Europe. Nous avions les fréquences observées suivantes :
groupe O groupe A groupe B groupe AB
total
82
62
10
4
158
52 %
39 %
6 %
3 %
100 %
L’hypothèse scientifique d’une telle étude sera par exemple que la distribution
des groupes sanguins dans cette population du nord de l’Europe diffère de
celle de la France, où l’on a (selon la littérature) 43 % de groupe O, 45 % de
groupe A, 9 % de groupe B et 3 % de groupe AB. On essaiera alors de rejeter
l’hypothèse nulle suivante :
H 0 : il y a 43 % de groupe O, 45 % de groupe A,
9 % de groupe B et 3 % de groupe AB.
Pour ce faire, on utilise une idée similaire à celle vue dans la section précédente. Si nos données respectaient à la lettre l’hypothèse nulle, les fréquences
attendues sous l’hypothèse nulle seraient les suivantes :
couleurs des yeux différentes revient à dire que la distribution de la couleur des yeux est la
même dans des populations aux couleurs des cheveux différentes (et vice versa). Ces deux
hypothèses nulles sont également équivalentes à l’hypothèse nulle suivante :
H 0 : les variables « couleur des cheveux » et « couleur des yeux » sont indépendantes.
Cette hypothèse nulle nous dit que le fait de connaître la couleur des yeux d’un écolier ne
nous informe en rien sur sa couleur des cheveux, de même que le fait de connaître la couleur des cheveux d’un écolier ne nous informe en rien sur sa couleur des yeux. Ainsi, le test
du khi-deux que l’on voit dans cette section est parfois appelé « test d’indépendance pour
variables qualitatives ». Notons par ailleurs que ces trois hypothèses nulles nous suggèrent
trois façons différentes d’échantillonner les données. La première nous suggère d’échantillonner parmi 4 populations d’écoliers aux couleurs des yeux différentes et de mesurer la couleur
des cheveux ; la deuxième d’échantillonner parmi 5 populations d’écoliers aux couleurs des
cheveux différentes et de mesurer la couleur des yeux ; la troisième d’échantillonner parmi
une population d’écoliers et de mesurer à la fois la couleur des cheveux et la couleur des yeux
(ce qui a été fait dans cet exemple). L’équivalence de ces trois hypothèses nulles implique que
l’on peut appliquer ce même test du khi-deux, quelle que soit la façon dont on a échantillonné
les données.