7. Tests du khi-deux pour tables de contingence
95
21.03
0
5%
région de rejet à 5% pour test du khi−deux avec 12 dl
tstat
0
p
calcul valeur p pour test du khi−deux avec 12 dl
Figure 7.1 – Région de rejet à 5 % et calcul de la valeur p pour test du χ
2 avec 12 dl.
la distance t stat observée dans notre échantillon, si H 0 était vraie ». On a de
façon équivalente :
t stat = χ
2
1−p,(I−1)(J−1) .
Autrement dit, on calcule p de telle sorte que t stat corresponde au quantile 1−p
d’une distribution du khi-deux avec (I − 1)(J − 1) dl. Dans notre exemple, un
logiciel statistique nous donnera p < 0.0001
2 . Cela veut dire que l’hypothèse
nulle est rejetée à pratiquement n’importe quel seuil
3 .
2 Dans R, on pourra ici calculer la valeur p par la commande 1-pchisq(1240.0,12).
3 Dans cet exemple, on a comparé I = 4 populations d’écoliers aux « couleurs des yeux »
différentes par rapport à la distribution de la variable « couleur des cheveux » qui admet
J = 5 valeurs possibles, et on a essayé de rejeter l’hypothèse nulle :
H 0 : la distribution de la variable « couleur des cheveux » est la même
dans les 4 populations aux « couleurs des yeux » différentes.
On pourrait retourner le problème et comparer J = 5 populations d’écoliers aux « couleurs
des cheveux » différentes par rapport à la distribution de la variable « couleur des yeux » qui
admet I = 4 valeurs possibles. Dans ce cas, l’hypothèse nulle que l’on essaierait de rejeter
serait la suivante :
H 0 : la distribution de la variable « couleur des yeux » est la même
dans les 5 populations aux « couleurs des cheveux » différentes.
En inversant les lignes et les colonnes de la table de contingence et en appliquant un test
du khi-deux, on obtiendra exactement le même résultat que ci-dessus (même t stat = 1240.0,
même dl = 12, et donc même valeur p). En fait, les deux hypothèses nulles sont équivalentes.
Dire que la distribution de la couleur des cheveux est la même dans des populations aux
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région de rejet à 5% pour test du khi−deux avec 12 dl
tstat
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p
calcul valeur p pour test du khi−deux avec 12 dl
Figure 7.1 – Région de rejet à 5 % et calcul de la valeur p pour test du χ
2 avec 12 dl.
la distance t stat observée dans notre échantillon, si H 0 était vraie ». On a de
façon équivalente :
t stat = χ
2
1−p,(I−1)(J−1) .
Autrement dit, on calcule p de telle sorte que t stat corresponde au quantile 1−p
d’une distribution du khi-deux avec (I − 1)(J − 1) dl. Dans notre exemple, un
logiciel statistique nous donnera p < 0.0001
2 . Cela veut dire que l’hypothèse
nulle est rejetée à pratiquement n’importe quel seuil
3 .
2 Dans R, on pourra ici calculer la valeur p par la commande 1-pchisq(1240.0,12).
3 Dans cet exemple, on a comparé I = 4 populations d’écoliers aux « couleurs des yeux »
différentes par rapport à la distribution de la variable « couleur des cheveux » qui admet
J = 5 valeurs possibles, et on a essayé de rejeter l’hypothèse nulle :
H 0 : la distribution de la variable « couleur des cheveux » est la même
dans les 4 populations aux « couleurs des yeux » différentes.
On pourrait retourner le problème et comparer J = 5 populations d’écoliers aux « couleurs
des cheveux » différentes par rapport à la distribution de la variable « couleur des yeux » qui
admet I = 4 valeurs possibles. Dans ce cas, l’hypothèse nulle que l’on essaierait de rejeter
serait la suivante :
H 0 : la distribution de la variable « couleur des yeux » est la même
dans les 5 populations aux « couleurs des cheveux » différentes.
En inversant les lignes et les colonnes de la table de contingence et en appliquant un test
du khi-deux, on obtiendra exactement le même résultat que ci-dessus (même t stat = 1240.0,
même dl = 12, et donc même valeur p). En fait, les deux hypothèses nulles sont équivalentes.
Dire que la distribution de la couleur des cheveux est la même dans des populations aux