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Science de la sécurité du système d’information
Deuxième partie
4 × 6 (mod 12) = (4 × 6) mod 12
= 24 mod 12
= 0 mod 12
Dans la seconde expression, le produit de 4 et 6 est nul, ce qui est très regrettable.
Aussi pourrons-nous bien définir un groupe multiplicatif Z ∗
n , qui si n est premier
aura les mêmes éléments que le groupe additif Z n à l’exclusion de 0, mais si n n’est
pas premier il faudra en retrancher les classes correspondant aux diviseurs de n et
à leurs multiples :
Z ∗
3
= {1, 2}
Z ∗
12 = {1, 5, 7, 11}
Z ∗
15 = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}
Dans ce groupe multiplicatif chaque élément a un inverse (sinon ce ne serait pas
un groupe) :
5 × 5 mod 12 = 25 mod 12
= 1 mod 12
7 × 7 mod 12 = 49 mod 12
= 1 mod 12
11 × 11 mod 12 = 121 mod 12
= 1 mod 12
7 × 13 mod 15 = 91 mod 15
= 1 mod 15
On note que les calculs sont faciles mais les résultats assez imprévisibles : justement, c’est le but que poursuivent nos deux cryptographes. La fonction y = ax
n’est pas monotone. L’exponentielle est définie :
5 3 mod 11 = 125 mod 11
= 4
et si n est premier elle a les mêmes propriétés que dans Z :
(a
x )
y = (a
y )
x = a
x.y