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La clé de voûte : le chiffrement
Chapitre 4
4 ≡ 1 mod 3
7 ≡ 1 mod 3
. . .
On construit de la même façon une classe des nombres équivalents à 0 mod 3,
qui contient −6, −3, 0, 3, 6, 9, 12, . . ., et une classe des nombres équivalents à
2 mod 3, avec −7, −4, −1, 2, 5, 8, 11, . . ..
On peut définir une addition modulaire, par exemple ici l’addition mod 3 :
4 + 7 (mod 3) = (4 + 7) mod 3
= 11 mod 3
= 2 mod 3
On démontre (exercice laissé au lecteur) que l’ensemble des classes d’équivalence
modulo n muni de cette relation d’équivalence (réflexive, transitive) et de cette
addition qui possède les bonnes propriétés (associative, commutative, existence
d’un élément neutre 0 mod n et d’un symétrique pour chaque élément) possède
une structure de groupe appelé groupe additif Z n (prononcé « Z modulo n »).
On peut aussi faire des multiplications :
4 × 7 (mod 3) = (4 × 7) mod 3
= 28 mod 3
= 1 mod 3
Nous pouvons montrer là aussi que la multiplication modulo 3 possède toutes les
bonnes propriétés qui font de notre ensemble de classes d’équivalence un groupe
pour la multiplication, mais cela n’est vrai que parce que 3 est premier. En effet si
nous essayons avec les classes d’équivalence modulo 12, nous aurons des diviseurs
de zéro, ce qui détruit la structure de groupe :
4 × 7 (mod 12) = (4 × 7) mod 12
= 28 mod 12
= 4 mod 12
La clé de voûte : le chiffrement
Chapitre 4
4 ≡ 1 mod 3
7 ≡ 1 mod 3
. . .
On construit de la même façon une classe des nombres équivalents à 0 mod 3,
qui contient −6, −3, 0, 3, 6, 9, 12, . . ., et une classe des nombres équivalents à
2 mod 3, avec −7, −4, −1, 2, 5, 8, 11, . . ..
On peut définir une addition modulaire, par exemple ici l’addition mod 3 :
4 + 7 (mod 3) = (4 + 7) mod 3
= 11 mod 3
= 2 mod 3
On démontre (exercice laissé au lecteur) que l’ensemble des classes d’équivalence
modulo n muni de cette relation d’équivalence (réflexive, transitive) et de cette
addition qui possède les bonnes propriétés (associative, commutative, existence
d’un élément neutre 0 mod n et d’un symétrique pour chaque élément) possède
une structure de groupe appelé groupe additif Z n (prononcé « Z modulo n »).
On peut aussi faire des multiplications :
4 × 7 (mod 3) = (4 × 7) mod 3
= 28 mod 3
= 1 mod 3
Nous pouvons montrer là aussi que la multiplication modulo 3 possède toutes les
bonnes propriétés qui font de notre ensemble de classes d’équivalence un groupe
pour la multiplication, mais cela n’est vrai que parce que 3 est premier. En effet si
nous essayons avec les classes d’équivalence modulo 12, nous aurons des diviseurs
de zéro, ce qui détruit la structure de groupe :
4 × 7 (mod 12) = (4 × 7) mod 12
= 28 mod 12
= 4 mod 12