donc de densité :
ϕ(u) =
1
√
2π
e
−u 2 /2
On peut donc en déduire la valeur de l'intégrale
+∞
−∞
e
−u 2 /2 du =
√
2π.
On obtient les dérivées à partir du logarithme, lnϕ(u) =−ln
√
2π − u
2 /2:
ϕ
′ (u) =−uϕ(u) et ϕ
′′ (u) =−ϕ(u) − uϕ
′ (u) = (u
2 − 1)ϕ(u)
La valeur maximale de ϕ est ϕ(0) = 1/
√
2π = 0,3989 et les valeurs
décroissent rapidement, avec par exemple ϕ(2) = 0,0540 et ϕ(4) = 0,0001.
La fonction de répartition est définie par :
(x) =
1
√
2π
x
−∞
e
−u 2 /2 du
et n'est pas exprimable au moyen d'une fonction usuelle. Les valeurs de sont
fournies dans les tables statistiques (table 1) pour x 0. Pour x < 0, on utilise
le fait que ϕ est une fonction paire, ϕ(u) = ϕ(−u), c'est-à-dire que la loi est
symétrique par rapport au centre de distribution 0, soit : P(U < −x)
= P(U > x), ce qui se traduit pour la f.r. par (−x) = 1 − (x).
86 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
x
m
– x
Figure 3.9
De cette symétrie découle également la probabilité d'un intervalle centré à
l'origine :
P(|U | < a) = P(−a < U < a) = (a) − (−a) = 2(a) − 1, a > 0
Ceci permet par exemple de déterminer l'intervalle interquartile, c'est-à-dire
l'intervalle centré à l'origine et qui contient 50 % de la masse totale. On doit
trouver la valeur de a telle que P(|U | < a) = 1/2, soit 2(a) − 1 = 1/2o u