(a) = 0,75. Il s'agit donc du fractile d'ordre 0,75 de la loi normale standard,
dont la valeur est lue dans la table 2 des fractiles : a = Q 3 = 0,6745 ≃ 2/3.
Rappelons que le fractile d'ordre p ∈]0,1[ est la valeur u p telle que (u p ) = p ,
soit u p =
−1 ( p). De même, on peut calculer la probabilité P(|U | < a) des
intervalles centrés à l'origine, pour les valeurs entières de a. Ainsi :
2(1) − 1 = 0,68268, 2(2) − 1 = 0,95450, 2(3) − 1 = 0,9973 ; il n'y a
pratiquement plus de masse de probabilité au-delà de la valeur 4 puisque :
P(|U | > 4) ≃ 6 × 10
−5 . La figure 3.10 ci-après synthétise ces résultats pour
une loi quelconque, à partir de l'équivalence :
−a <
x − m
σ
< a ⇔ m − σ a < x < m + σ a
Lois usuelles 87
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Figure 3.10
f(x)
0
x
m + σ
m
m – σ
m – 2 σ
m + 2 σ
50 %
68 %
95 %
99,7 %
m + σ
2
3
m – σ
2
3
m – 3 σ
m + 3 σ
Pour déterminer les valeurs de la f.r. d'une loi normale quelconque, on se
ramène à la loi standard qui est tabulée, à partir de :
F(x) = P(X < x) = P
X − m
σ
<
x − m
σ
= P
U <
x − m
σ
=
x − m
σ
• Convolution de lois normales
La convolution (somme) de deux lois normales indépendantes est encore une loi
normale : si X N (m 1 ,σ 1 ) et Y N (m 2 ,σ 2 ) sont des v.a. indépendantes, alors
X + Y N (m 1 + m 2 ,
σ
2
1 + σ
2
2 ).