D. Loi gamma
Une v.a. X suit une loi gamma de paramètres p > 0 et θ>0 si c'est une v.a.
positive dont la densité est de la forme :
f (x) =
θ
p
Ŵ(p)
e
−θ x x
p−1 , x 0
la fonction gamma étant définie pour tout p > 0 par :
Ŵ(p) =
+∞
0
e
−x x
p−1 dx
On écrit X γ(p,θ). Parmi les nombreuses propriétés de la fonction Ŵ ,on
montre en intégrant par parties que pour tout p > 1:
Ŵ(p) = ( p − 1)Ŵ( p − 1)
Donc, pour p entier strictement positif on en déduit que :
Ŵ(p) = ( p − 1)!
Le calcul des moments s'effectue aisément par le changement de variable
y = θ x :
E(X) =
θ
p
Ŵ(p)
+∞
0
e
−θ x x
p dx =
1
Ŵ(p)
+∞
0
e
−y y
p dy
θ
=
1
θ
Ŵ(p + 1)
Ŵ(p)
=
p
θ
E(X
2 ) =
θ
p
Ŵ(p)
+∞
0
e
−θ x x
p+1 dx =
1
Ŵ(p)
+∞
0
e
−y y
p+1 dy
θ 2
=
1
θ 2
Ŵ(p + 2)
Ŵ(p)
=
p( p + 1)
θ 2
V (X) =
p
θ 2 .
Étudions la loi de la v.a. Y = θ X :
G(y) = P(Y < y) = P(θ X < y) = P
X <
y
θ
= F
y
θ
où F est la f.r. de X ; la densité de Y est obtenue par dérivation :
g(y) =
1
θ
f
y
θ
=
θ
p−1
Ŵ(p)
e
−y
y
θ
p−1 =
1
Ŵ(p)
e
−y y
p−1 , y > 0
88 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS