et on reconnaît la densité d'une loi γ(p,1) que nous noterons simplement γ(p) .
Les moments s'obtiennent à partir de ceux de X en faisant θ = 1:
E(Y ) = V (Y ) = p
On a donc les équivalences suivantes entre les lois gammas à 1 et 2 paramètres :
X γ ( p,θ ) ⇐⇒ Y = θ X γ ( p) ⇐⇒ X =
Y
θ
γ ( p,θ )
• Convolution de lois gammas
La convolution (somme) de deux lois gammas indépendantes est encore une loi
gamma : si X γ(p,θ) et Y γ(q,θ) sont des v.a. indépendantes, alors la v.a.
somme X + Y γ(p + q,θ).
La famille des lois gammas contient comme cas particuliers deux lois usuelles,
l'une déjà étudiée qui est la loi exponentielle de paramètre θ>0 , obtenue pour
p = 1 et qui est donc la loi γ(1,θ) de densité θe
−θ x pour x > 0. Cette remarque
peut être utile en statistique dans le cas de v.a. X 1 ,...,X n indépendantes et de
même loi exponentielle de paramètre θ, avec :
S n =
n
i =1
X i γ (n,θ ) et θ S n γ (n)
La seconde est la loi du khi-deux, très utilisée en statistique et que nous allons
étudier maintenant.
E. Loi du khi-deux
La loi du khi-deux à n degrés de liberté, notée χ
2
n , est la loi γ(n/2,1/2) où n est
un entier positif, donc de densité pour x > 0:
f (x) =
1
2 n/2 Ŵ(n/2)
e
−x/2 x
n/2−1
Ses moments se déduisent de ceux de la loi gamma :
E(χ
2
n ) =
n/2
1/2
= n et V (χ
2
n ) =
n/2
1/4
= 2n
Remarques
En appliquant les équivalences ci-dessus entre lois gammas pour θ =
1
2
,
on peut passer de la loi gamma non tabulée à la loi du khi-deux qui est
tabulée:
Y =
1
2
X γ ( p) ⇐⇒ X = 2Y γ
p,
1
2
≡ χ
2
2 p
Lois usuelles 89
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