Pour des v.a. exponentielles comme ci-dessus on en déduit 2θ S n χ
2
2n .
Il existe également un lien avec la loi normale qui explique son importance
en statistique. Si X N (m,σ ) alors :
X − m
σ
2
χ
2
1
En effet, la v.a. U = (X − m)/σ suit une loi N (0,1) et si on pose Y = U
2 ,
sa f.r. est définie pour y > 0 par :
G(y) = P(Y < y) = P(−
√ y < U <
√ y) = (
√ y) − (−
√ y)
et sa densité est donc :
g(y) =
1
2
√ y
ϕ
√ y
+ ϕ
−
√ y
=
ϕ
√ y
√ y
=
e
−y/2
√
2π y
c'est-à-dire, puisque Ŵ(1/2) =
√
π , la densité d'une loi γ(1/2,1/2) ou loi χ
2
1 .
Ceci permet notamment de retrouver l'expression du moment d'ordre
quatre de la loi normale, puisque de V [(X − m)/σ ]
2 = 2 on en déduit par
la formule développée de la variance E(X − m)
4 − E
2 (X − m)
2 = 2σ
4 puis
E(X − m)
4 = 3σ
4 .
• Convolution de lois du khi-deux
La convolution (somme) de deux lois du khi-deux indépendantes est encore une
loi du khi-deux : si X χ
2
n et Y χ
2
m sont des v.a. indépendantes alors la v.a.
X + Y χ
2
n+m . Il s'agit simplement de la propriété relative aux lois gammas.
Des deux propriétés précédentes nous allons déduire une autre propriété qui
indique comment s'introduit cette loi dans les échantillons gaussiens : si
X 1 ,...,X n sont des v.a. indépendantes et de même loi N (0,1) , alors
X
2
1 + ...+ X
2
n suit une loi du khi-deux à n degrés de liberté. Cette propriété
pourrait d'ailleurs servir de définition de cette loi, sans référence à la famille des
lois gammas. Le nombre de degrés de liberté correspond au nombre de variables
indépendantes qui sont intervenues dans sa construction ; si ces variables étaient
liées par k relations, le nombre de degrés de liberté serait alors n − k.
F. L oi bêta
Il existe deux familles de lois bêtas qui se déduisent de la famille des lois gammas.
1) Loi bêta de seconde espèce
Si X et Y sont deux v.a. indépendantes de lois respectives γ(p) et γ(q), alors la
v.a. Z = X/Y suit une loi bêta de seconde espèce de paramètres p > 0e t
90 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
2
2n .
Il existe également un lien avec la loi normale qui explique son importance
en statistique. Si X N (m,σ ) alors :
X − m
σ
2
χ
2
1
En effet, la v.a. U = (X − m)/σ suit une loi N (0,1) et si on pose Y = U
2 ,
sa f.r. est définie pour y > 0 par :
G(y) = P(Y < y) = P(−
√ y < U <
√ y) = (
√ y) − (−
√ y)
et sa densité est donc :
g(y) =
1
2
√ y
ϕ
√ y
+ ϕ
−
√ y
=
ϕ
√ y
√ y
=
e
−y/2
√
2π y
c'est-à-dire, puisque Ŵ(1/2) =
√
π , la densité d'une loi γ(1/2,1/2) ou loi χ
2
1 .
Ceci permet notamment de retrouver l'expression du moment d'ordre
quatre de la loi normale, puisque de V [(X − m)/σ ]
2 = 2 on en déduit par
la formule développée de la variance E(X − m)
4 − E
2 (X − m)
2 = 2σ
4 puis
E(X − m)
4 = 3σ
4 .
• Convolution de lois du khi-deux
La convolution (somme) de deux lois du khi-deux indépendantes est encore une
loi du khi-deux : si X χ
2
n et Y χ
2
m sont des v.a. indépendantes alors la v.a.
X + Y χ
2
n+m . Il s'agit simplement de la propriété relative aux lois gammas.
Des deux propriétés précédentes nous allons déduire une autre propriété qui
indique comment s'introduit cette loi dans les échantillons gaussiens : si
X 1 ,...,X n sont des v.a. indépendantes et de même loi N (0,1) , alors
X
2
1 + ...+ X
2
n suit une loi du khi-deux à n degrés de liberté. Cette propriété
pourrait d'ailleurs servir de définition de cette loi, sans référence à la famille des
lois gammas. Le nombre de degrés de liberté correspond au nombre de variables
indépendantes qui sont intervenues dans sa construction ; si ces variables étaient
liées par k relations, le nombre de degrés de liberté serait alors n − k.
F. L oi bêta
Il existe deux familles de lois bêtas qui se déduisent de la famille des lois gammas.
1) Loi bêta de seconde espèce
Si X et Y sont deux v.a. indépendantes de lois respectives γ(p) et γ(q), alors la
v.a. Z = X/Y suit une loi bêta de seconde espèce de paramètres p > 0e t
90 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS