q > 0 , notée β II ( p,q) , et de densité pour z > 0:
f (z) =
1
B( p,q)
z
p−1
(1 + z) p+q
où :
B( p,q) =
Ŵ(p)Ŵ(q)
Ŵ(p + q)
.
Des propriétés de la fonction Ŵ on déduit aisément les moments de Z :
E(Z ) =
1
B( p,q)
+∞
0
z
p
(1 + z) p+q dz =
B( p + 1,q − 1)
B( p,q)
=
p
q − 1
, q > 1
E(Z
2 ) =
1
B( p,q)
+∞
0
z
p+1
(1 + z) p+q dz =
B( p + 2,q − 2)
B( p,q)
=
p( p + 1)
(q − 1)(q − 2)
, q > 2
V (Z ) =
p( p + q − 1)
(q − 1) 2 (q − 2)
, q > 2
2) Loi bêta de première espèce
La loi bêta de première espèce est également définie par un rapport de lois gammas ou à partir de la loi précédente ; c'est celle de la v.a. à valeurs dans [0,1] :
T =
X
X + Y
=
Z
1 + Z
sa densité pour 0 t 1 est :
f (t) =
1
B( p,q)
t
p−1 (1 − t)
q−1
on écrit T β I ( p,q). Notons que :
1
0
t
p−1 (1 − t)
q−1 dt = B( p,q)
On obtient comme moments :
E(T ) =
1
B( p,q)
1
0
t
p (1 − t)
q−1 dt =
B( p + 1,q)
B( p,q)
=
p
p + q
E(T
2 ) =
1
B( p,q)
1
0
t
p+1 (1 − t)
q−1 dt =
B( p + 2,q)
B( p,q)
=
p( p + 1)
( p + q)( p + q + 1)
V (T ) =
pq
( p + q) 2 ( p + q + 1)
Lois usuelles 91
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