La notion de fonction génératrice peut être utile parfois pour calculer plus facilement les
moments de certaines lois de probabilité.
A. Fonction génératrice d’une v.a. discrète positive
Si X est une v.a. discrète positive dont la loi de probabilité est définie par l'ensemble des
couples (x k , p k ) ,où k parcourt un ensemble d'indices K ⊂ N , on peut définir sur [0,1]
sa fonction génératrice par :
G X (u) = E
u
X
=
k∈K
p k u
x k
G. Loi log-normale
La v.a. positive X suit une loi log-normale de paramètres m et σ>0 si la v.a.
lnX suit une loi N (m,σ ) ; sa f.r. vérifie donc pour x > 0:
F(x) = P(X < x) = P(lnX < lnx) = P
lnX − m
σ
<
lnx − m
σ
=
lnx − m
σ
sa densité est donc pour x > 0:
f (x) =
1
σ x
ϕ
lnx − m
σ
=
1
σ x
√
2π
exp −
1
2σ 2 (lnx − m)
2
H. Loi de Pareto
C'est une loi qui est utilisée notamment dans la modélisation de la distribution
des revenus d'une population ou en théorie des assurances. Sa densité est définie pour x x 0 > 0, x 0 pouvant s'interpréter comme le revenu minimum, en
fonction d'un paramètre α>0:
f (x) =
α
x 0
x 0
x
α+1
92 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
Compléments : fonctions génératrices