L'intégrale
+∞
−∞
xf(x)dx est convergente en raison de la présence de l'exponentielle, donc E(X) existe et sa valeur ne peut être que m en raison de la
symétrie de la densité par rapport à cette valeur. Vérifions-le en écrivant :
E(X) =
+∞
−∞
xf(x)dx =
+∞
−∞
(x − m + m) f (x)dx
= m
+∞
−∞
f (x)dx +
+∞
−∞
(x − m) f (x)dx
= m +
+∞
−∞
(x − m) f (x)dx
l'intégrande étant une fonction impaire de x − m = u , l'intégrale est nulle puisqu'elle est convergente et qu'on intègre une fonction impaire sur un intervalle
centré à l'origine. On retrouve bien l'interprétation du premier paramètre comme
moyenne de la loi :
E(X) = m.
Pour calculer le moment d'ordre deux, on fait le changement de variable
u = (x − m)/σ :
E(X
2 ) =
1
σ
√
2π
+∞
−∞
x
2 exp −
(x − m)
2
2σ 2 dx
=
1
√
2π
+∞
−∞
(σ
2 u
2 + 2mσ u + m
2 )e
−u 2 /2 du
=
σ
2
√
2π
+∞
−∞
u
2 e
−u 2 /2 du + m
2
que l'on intègre par parties :
E(X
2 ) =
−
σ
2 ue
−u 2 /2
√
2π
+∞
−∞
+
σ
2
√
2π
+∞
−∞
e
−u 2 /2 du + m
2 = σ
2 + m
2
d'où :
V (X) = σ
2
le second paramètre étant donc l'écart type σ. On obtient aussi E(X − m)
3 = 0,
comme d'ailleurs tous les autres moments centrés impairs qui sont nuls, et
E(X − m)
4 = 3σ
4 .
• Loi normale centrée réduite (loi normale standard)
En faisant le changement de variable U = (X − m)/σ , c'est-à-dire en centrant
et en réduisant, on obtient une v.a. de loi standard, de moyenne nulle E(U ) = 0
et de variance unité V (U ) = E(U
2 ) = E(X − m)
2 /σ
2 = V (X)/σ
2 = 1,
Lois usuelles 85
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