2. L'expression (x − m)
2 est minimum pour x = m , ce qui va correspondre à un maximum pour f de valeur :
f (m) =
1
σ
√
2π
3. Pour calculer facilement la dérivée, considérons :
ln f (x) =−lnσ
√
2π −
1
2σ 2 (x − m)
2
D'où en dérivant :
f
′ (x)
f (x)
=−
1
σ 2 (x − m) et σ
2 f
′ (x) = (m − x) f (x)
Et en dérivant à nouveau :
σ
2 f
′′ (x) =−f (x) + (m − x) f
′ (x)
d'où on déduit :
σ
4 f
′′ (x) = (m − x)
2 f (x) − σ
2 f (x) = (m − x − σ)(m − x + σ)f (x)
donc f
′′ s'annule en changeant de signe pour x = m − σ et
x = m + σ , ce qui correspond à deux points d'inflexion pour le graphe
de f.
4. Enfin, quand x devient infini, alors f (x) → 0 donc l'axe des abscisses
est asymptote au graphe.
Toutes ces remarques permettent de tracer le graphe en cloche de la densité f.
84 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
f(x)
0
x
m + σ
m
m – σ
2 m – x
Figure 3.8
2 est minimum pour x = m , ce qui va correspondre à un maximum pour f de valeur :
f (m) =
1
σ
√
2π
3. Pour calculer facilement la dérivée, considérons :
ln f (x) =−lnσ
√
2π −
1
2σ 2 (x − m)
2
D'où en dérivant :
f
′ (x)
f (x)
=−
1
σ 2 (x − m) et σ
2 f
′ (x) = (m − x) f (x)
Et en dérivant à nouveau :
σ
2 f
′′ (x) =−f (x) + (m − x) f
′ (x)
d'où on déduit :
σ
4 f
′′ (x) = (m − x)
2 f (x) − σ
2 f (x) = (m − x − σ)(m − x + σ)f (x)
donc f
′′ s'annule en changeant de signe pour x = m − σ et
x = m + σ , ce qui correspond à deux points d'inflexion pour le graphe
de f.
4. Enfin, quand x devient infini, alors f (x) → 0 donc l'axe des abscisses
est asymptote au graphe.
Toutes ces remarques permettent de tracer le graphe en cloche de la densité f.
84 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
f(x)
0
x
m + σ
m
m – σ
2 m – x
Figure 3.8