On calcule l'espérance en intégrant par parties :
E(X) = θ
+∞
0
xe
−θ x dx =
−xe
−θ x
+∞
0
+
+∞
0
e
−θ x dx =
1
θ
On calcule de même, en intégrant par parties, le moment d'ordre deux :
E(X
2 ) = θ
+∞
0
x
2 e
−θ x dx =
−x
2 e
−θ x
+∞
0
+ 2
+∞
0
xe
−θ x dx =
2
θ
E(X) =
2
θ 2
d'où on déduit :
V (X) =
1
θ 2
C. Loi normale ou de Laplace-Gauss
C'est la loi d'une variable aléatoire X à valeurs dans R , de densité :
f (x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − m)
2
2σ 2
qui est définie par deux paramètres m et σ>0 dont nous verrons l'interprétation un peu plus loin. On note X N (m,σ ) . Bien entendu, s'agissant d'une densité de probabilité, on en déduit la valeur de l'intégrale suivante :
+∞
−∞
e
−(x−m) 2 /2σ 2 dx = σ
√
2π
Les remarques suivantes vont nous permettre de préciser le graphe de f.
Remarques
1. On peut constater que f (2m − x) = f (x) , ce qui indique que le
graphe de f est symétrique par rapport à la droite verticale x = m.
Lois usuelles 83
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
F(x)
0
1
x
Figure 3.7
E(X) = θ
+∞
0
xe
−θ x dx =
−xe
−θ x
+∞
0
+
+∞
0
e
−θ x dx =
1
θ
On calcule de même, en intégrant par parties, le moment d'ordre deux :
E(X
2 ) = θ
+∞
0
x
2 e
−θ x dx =
−x
2 e
−θ x
+∞
0
+ 2
+∞
0
xe
−θ x dx =
2
θ
E(X) =
2
θ 2
d'où on déduit :
V (X) =
1
θ 2
C. Loi normale ou de Laplace-Gauss
C'est la loi d'une variable aléatoire X à valeurs dans R , de densité :
f (x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − m)
2
2σ 2
qui est définie par deux paramètres m et σ>0 dont nous verrons l'interprétation un peu plus loin. On note X N (m,σ ) . Bien entendu, s'agissant d'une densité de probabilité, on en déduit la valeur de l'intégrale suivante :
+∞
−∞
e
−(x−m) 2 /2σ 2 dx = σ
√
2π
Les remarques suivantes vont nous permettre de préciser le graphe de f.
Remarques
1. On peut constater que f (2m − x) = f (x) , ce qui indique que le
graphe de f est symétrique par rapport à la droite verticale x = m.
Lois usuelles 83
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
F(x)
0
1
x
Figure 3.7