c'est-à-dire que le centre de la distribution est le milieu de l'intervalle, résultat
prévisible puisque la loi est uniforme sur cet intervalle. Dans le cas particulier
où a = 0 et b = 1 on obtient E(X) = 1/2.
Calculons maintenant la variance :
E(X
2 ) =
+∞
−∞
x
2 f (x)dx =
1
b − a
b
a
x
2 dx =
1
b − a
x
3
3
b
a
=
1
3
(b
2 + ab + a
2 )
V (X) = E(X
2 ) − E
2 (X) =
(b − a)
2
12
Donc V (X) = 1/12 dans le cas de la loi uniforme sur [0,1] .
B. Loi exponentielle
La loi exponentielle de paramètre θ>0 est celle d'une variable positive de densité :
f (x) =
θe
−θ x
si 0 x
0s i x < 0
82 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
f(x)
0
θ
x
Figure 3.6
La variable associée X est souvent utilisée pour représenter une durée de vie
(durée de vie d'un matériel donné, durée de chômage, durée d'hospitalisation ...) .
On écrit X E(θ ) . Sa fonction de répartition est bien sûr nulle pour x 0, et
pour x > 0 on obtient :
F(x) = θ
x
0
e
−θt dt =
−e
−θt
x
0
= 1 − e
−θ x