– si b x :
F(x) =
a
−∞
0dt +
b
a
1
b − a
dt +
x
b
0dt =
b − a
b − a
= 1
On obtient donc :
F(x) =
0s i x < a
x − a
b − a
si a x < b
1s i b x
Lois usuelles 81
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
F(x)
ab
x
1
0
Figure 3.5
Le fractile d'ordre p ∈ ]0,1[ , qui est défini par F(x p ) = p, a pour valeur ici
x p = a + (b − a) p.
La densité est discontinue en a et b mais la loi est absolument continue et la
fonction de répartition est bien sûr continue en ces points.
Dans le cas particulier où a = 0 et b = 1, on a X U ([0,1]) avec :
f (x) =
1s ix ∈ [0,1]
0 sinon
F(x) =
0s ix < 0
x si 0 x < 1
1s i1 x
La probabilité d'un intervalle [x 1 ,x 2 ] inclus dans [a,b] est proportionnelle à
sa longueur :
P X (x 1 < X < x 2 ) =
x 2
x 1
f (x)dx =
1
b − a
x 2
x 1
dx =
x 2 − x 1
b − a
Calculons l'espérance :
E(X) =
+∞
−∞
xf(x)dx =
1
b − a
b
a
xdx =
1
b − a
x
2
2
b
a
=
b + a
2
F(x) =
a
−∞
0dt +
b
a
1
b − a
dt +
x
b
0dt =
b − a
b − a
= 1
On obtient donc :
F(x) =
0s i x < a
x − a
b − a
si a x < b
1s i b x
Lois usuelles 81
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
F(x)
ab
x
1
0
Figure 3.5
Le fractile d'ordre p ∈ ]0,1[ , qui est défini par F(x p ) = p, a pour valeur ici
x p = a + (b − a) p.
La densité est discontinue en a et b mais la loi est absolument continue et la
fonction de répartition est bien sûr continue en ces points.
Dans le cas particulier où a = 0 et b = 1, on a X U ([0,1]) avec :
f (x) =
1s ix ∈ [0,1]
0 sinon
F(x) =
0s ix < 0
x si 0 x < 1
1s i1 x
La probabilité d'un intervalle [x 1 ,x 2 ] inclus dans [a,b] est proportionnelle à
sa longueur :
P X (x 1 < X < x 2 ) =
x 2
x 1
f (x)dx =
1
b − a
x 2
x 1
dx =
x 2 − x 1
b − a
Calculons l'espérance :
E(X) =
+∞
−∞
xf(x)dx =
1
b − a
b
a
xdx =
1
b − a
x
2
2
b
a
=
b + a
2