II. Lois usuelles continues
A. Loi uniforme
Une v.a. X suit une loi uniforme continue si sa densité est constante sur un intervalle fini [a,b] , étant donc de la forme :
f (x) =
k si x ∈ [a,b]
0 sinon
On écrit X U ([a,b]) . Compte tenu du graphe de la densité, on appelle
aussi cette loi distribution rectangulaire. La constante k doit être telle que
+∞
−∞
f (x)dx = 1 soit
b
a
kdx = k(b − a) = 1 , ce qui impose k = 1/(b − a).
La densité a pour valeur sur l'intervalle [a,b] l'inverse de sa longueur :
f (x) =
1
b − a
, ∀x ∈ [a,b]
80 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
f(x)
ab
x
1/(b – a)
Figure 3.4
Déterminons la fonction de répartition de X :
– si x < a :
F(x) =
x
−∞
0dt = 0
– si a x < b :
F(x) =
a
−∞
0dt +
x
a
1
b − a
dt =
x − a
b − a