d'où on déduit :
V (X) = E [X (X − 1)] + E(X) − E
2 (X) =
q
p 2
G. Loi binômiale négative
On effectue cette fois des épreuves successives indépendantes jusqu'à ce que n
événements A soient réalisés et on note Y le nombre (aléatoire) d'épreuves effectuées. L'événement {Y = y}, pour tout entier y n , est représenté par une suite
de la forme :
A AA...A A ...A
y−1
A
qui comporte n − 1r éalisations de l'événement A au cours des y − 1 premières
épreuves et qui se conclut par un événement A. On en déduit la probabilité individuelle :
P Y (Y = y) =
y − 1
n − 1
p
n (1 − p)
y−n , y n
Pour obtenir sans calculs les moments de Y, nous allons décomposer la suite
des épreuves en n séquences se terminant toutes par un événement A, associant
à chacune de ces séquences une v.a. de Pascal X i ,1 i n, qui représente le
nombre d'épreuves nécessaires pour que le i-ème événement A soit réalisé,e n
comptant à partir de la réalisation du précédent A :
A A ...AA
X 1
A A ...AA
X 2
...A A ...AA
Xn
Ceci permet de définir la loi de Y, dite loi binômiale négative, comme somme
de lois de Pascal indépendantes et de même paramètre p :
Y = X 1 + ...+ X n
On en déduit alors facilement :
E(Y ) = nE(X 1 ) =
n
p
et V (Y ) = nV(X 1 ) =
nq
p 2
Pour la loi binômiale, le nombre d'épreuves est fixé et on observe le nombre
aléatoire d'événements réalisés. Pour la loi binômiale négative, au contraire, le
nombre de réalisations d'événements est fixé et c'est le nombre d'épreuves
nécessaires pour les obtenir qui devient aléatoire.
Lois usuelles 79
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