X + Y P(λ + µ).
Le moment factoriel d'ordre trois s'obtient aisément et permet d'en déduire le moment centré d'ordre trois :
E [X (X − 1)(X − 2)] = λ
3 = E(X
3 ) − 3E(X
2 ) + 2E(X)
d'où on déduit :
µ 3 = E [X − E(X)]
3 = E(X
3 ) − 3E(X
2 )E(X) + 2E
3 (X) = λ>0
donc loi dissymétrique à droite.
F. L oi géométrique ou de Pascal
On effectue des épreuves successives indépendantes jusqu'à la réalisation d'un
événement particulier A et on note X le nombre (aléatoire) d'épreuves effectuées.
On définit ainsi une v.a. à valeurs entières de loi géométrique, ou de Pascal.
À chaque épreuve est associé l'ensemble fondamental ={A,A} et l'événement {X = k} pour k ∈ N
∗ est représenté par une suite de k − 1 événements A,
terminée par l'événement A :
A A ...A
k−1
A
Si on pose p = P(A), la probabilité de cet événement est :
P X (X = k) = (1 − p)
k−1 p
En utilisant la série entière
∞
k=0
x
k = 1/(1 − x) pour |x| < 1, puis en dérivant, on en déduit
∞
k=1
kx
k−1 = 1/(1 − x)
2 , ce qui permet de vérifier que
∞
k=0
P X (X = k) = 1 . Ceci permet également d'obtenir l'espérance :
E(X) =
∞
k=1
kpq
k−1 =
p
(1 − q) 2 =
1
p
où on a posé q = 1 − p. Le calcul de la variance se fait à partir du moment factoriel :
E [X (X − 1)] =
∞
k=2
k(k − 1) pq
k−1 = pq
∞
k=2
k(k − 1)q
k−2
=
2 pq
(1 − q) 3 =
2q
p 2
78 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS