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Lois usuelles 77
P X (X = k) = e
−λ
λ
k
k!
, k ∈ N
loi qui ne dépend que d'un seul paramètre réel positif, avec l'écriture symbolique
X P(λ).
Le développement en série entière de l'exponentielle :
e
λ =
∞
k=0
λ
k
k!
permet de vérifier que :
∞
k=0
P X (X = k) = 1
On peut déterminer quel est l'entier le plus probable en formant le rapport :
P X (X = k)
P X (X = k − 1)
=
λ
k
k!
×
(k − 1)!
λ k−1 =
λ
k
, k 1
ce qui montre que pour tous les entiers k inférieurs à λ on a P X (X = k) >
P X (X = k − 1) , donc P X (X = k) est croissant, puis décroissant pour les
entiers k >λ, le maximum étant atteint pour l'entier k = [λ] . Pour [λ] = 0 , les
valeurs de P X (X = k) sont décroissantes à partir de la valeur maximale qui est
P X (X = 0). Dans le cas particulier où λ est entier, il y a deux valeurs de probabilité maximale qui est P X (X = λ) = P X (X = λ − 1).
Le calcul de l'espérance mathématique se déduit du développement en série
entière de l'exponentielle :
E(X) =
∞
k=0
kP X (X = k) = e
−λ
∞
k=1
λ
k
(k − 1)!
= λe
−λ
∞
k=1
λ
k−1
(k − 1)!
= λ.
Pour calculer la variance nous n'allons pas calculer E(X
2 ) mais le moment
factoriel E [X (X − 1)] qui s'obtient plus facilement, selon la méthode précédente :
E [X (X − 1)] =
∞
k=0
k(k − 1)P X (X = k) = e
−λ
∞
k=2
k(k − 1)
λ
k
k!
= λ
2 e
−λ
∞
k=2
λ
k−2
(k − 2)!
= λ
2
On en déduit :
V (X) = E(X
2 ) − E
2 (X) = E [X (X − 1)] + E(X) − E
2 (X) = λ
Remarques
Si deux variables suivent des lois de Poisson et sont indépendantes,
X P(λ) et Y P(µ), alors leur somme suit aussi une loi de Poisson :