P(X i = 1,X j = 1) =
N − 2
n − 2
N
n
=
n(n − 1)
N (N − 1)
Ainsi :
E(X i X j ) = P(X i = 1,X j = 1) =
n(n − 1)
N (N − 1)
et :
Cov(X i ,X j ) = E(X i X j ) − E(X i )E(X j ) =
n(n − 1)
N (N − 1)
−
n
2
N 2
=−
n(N − n)
N 2 (N − 1)
< 0
Par conséquent :
V (X) = V
N A
i=1
X i
=
N A
i=1
V (X i ) +
i /
= j
Cov(X i ,X j )
= N A
n
N
N − n
N
− N A (N A − 1)
n(N − n)
N 2 (N − 1)
= n
N − n
N − 1
N A
N
1 −
N A
N
Soit en posant q = 1 − p = 1 − N A /N :
V (X) = npq
N − n
N − 1
Si la taille N de la population est grande vis-à-vis de la taille n de l'échantillon, on a l'approximation :
N − n
N − 1
=
1 − n/N
1 − 1/N
≃ 1
et :
V (X) ≃ npq
qui est l'expression de la variance de la loi binômiale B(n, p) , c'est-à-dire du cas
de tirages indépendants (cas limite d'une population de taille infinie). Pour n/N
petit et N grand on peut utiliser la loi binômiale (plus simple) comme approximation de la loi hypergéométrique (cf. chap. 6, § II, I, 2).
E. Loi de Poisson
Une v.a. X suit une loi de Poisson de paramètre λ>0 si c'est une variable à
valeurs entières, X (() = N , donc avec une infinité de valeurs possibles, de probabilité :
76 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS