obtenu en effectuant le produit :
(1 + x)
r (1 + x)
s =
r
k=0
r
k
x
k
s
j=0
s
j
x
j =
r
k=0
s
j=0
r
k
s
j
x
j+k
et en identifiant avec les termes de :
(1 + x)
r+s =
r+s
m=0
r + s
m
x
m
On en déduit que
n
k=0
N A
k
N − N A
n − k
=
N
n
, ce qui permet de conclure que
n
k=0
P X (X = k) = 1. La loi hypergéométrique dépend des trois paramètres N, n
et N A et on écrit symboliquement X H(N ,n,N A ).
Pour calculer plus facilement les moments de cette loi, nous allons supposer
que chacun des objets A est numéroté et nous allons leur associer une v.a. indicatrice de tirage :
X i =
1 si l’objet A i est tiré
0 sinon
, 1 i N A
Ces variables permettent d'écrire :
X =
N A
i=1
X i
mais notons qu'ici les v.a. X i ne sont pas indépendantes. Elles suivent la même
loi de Bernoulli dont le paramètre est la probabilité de tirage d'un objet A particulier. Chaque échantillon a la même probabilité 1/
N
n
; les échantillons qui
contiennent l'objet A i sont au nombre de
N − 1
n − 1
,donc:
P(X i = 1) =
N − 1
n − 1
N
n
=
n
N
On en déduit facilement que :
E(X) =
N A
i=1
E(X i ) = N A
n
N
= np
ayant posé p = P(A) = N A /N .
Pour calculer V (X), il est nécessaire de déterminer la loi des couples
(X i ,X j ) puisque ces variables ne sont pas indépendantes. Le nombre d'échantillons qui contiennent simultanément les objets A i et A j est
N − 2
n − 2
, donc :
Lois usuelles 75
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