D. Loi hypergéométrique
On effectue n tirages sans remise dans une urne contenant N objets dont N A
objets A. On note X (ω) le nombre d'objets A tirés à l'issue de l'événement élémentaire ω. Les tirages successifs sont ici dépendants puisque la composition
de l'urne est différente après chaque tirage, dépendant des tirages précédents.
Dans le schéma binômial du paragraphe précédent on peut aussi considérer que
l'on effectue n tirages avec remise dans une urne dont la composition est telle
que N A /N = p. Les épreuves successives sont alors indépendantes.
Dans le schéma hypergéométrique ici, ces n tirages sans remise sont équivalents à un seul tirage de n objets et il y a donc équiprobabilité de chacun des
N
n
échantillons possibles. Pour calculer la probabilité d'obtenir k objets A il
faut donc dénombrer tous les échantillons qui contiennent exactement k des N A
objets A, il y en a
N A
k
chacun d'eux contenant simultanément n − k objets A ,
il y en a
N − N A
n − k
.
74 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
N A
N – N A
N
n n
k
n – k
Figure 3.3
Ainsi, pour tout entier k tel que 0 k n :
P X (X = k) =
N A
k
N − N A
n − k
N
n
il faut bien entendu aussi que k N A (nombre total d'objets A) et n − k N − N A
(nombre d'objets A ) d'où les conditions :
max{0,n − (N − N A )} k min{n,N A } .
Pour vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité, on utilise le résultat suivant de combinatoire :
m
k=0
r
k
s
m − k
=
r + s
m