E [X (X − 1)] =
n
k=0
k(k − 1)
n!
k!(n − k)!
p
k q
n−k
= n(n − 1) p
2
n
k=2
(n − 2)!
(k − 2)!(n − k)!
p
k−2 q
n−k
= n(n − 1) p
2
n−2
j=0
n − 2
j
p
j q
n−2− j = n(n − 1) p
2 ( p + q)
n−2
= n(n − 1) p
2
on en déduit alors E(X
2 ) = n(n − 1) p
2 + np, puis :
V (X) = n
2 p
2 + np(1 − p) − n
2 p
2 = npq.
Exemple 3.2
Le nombre de résultats pile apparus au cours de n jets d'une pièce de
monnaie suit une loi B(n,1/2) :
P X (X = k) =
n
k
1
2
k
1
2
n−k
=
n
k
2 n , 0 k n
avec E(X) = n/2 et V (X) = n/4.
Exemple 3.3
Le nombre N de boules rouges apparues au cours de n tirages avec remise
dans une urne contenant deux rouges, trois vertes et une noire suit une loi
binômiale B(n,1/3) :
P N (N = k) =
n
k
2
6
k
4
6
n−k
=
n
k
2
n−k
3 n , 0 k n
avec E(N ) = n/3 et V (N ) = 2n/9.
Remarques
Si X 1 B(n 1 , p) et X 2 B(n 2 , p), les v.a. X 1 et X 2 étant indépendantes, alors X 1 + X 2 B(n 1 + n 2 , p) . Ceci résulte de la définition
d'une loi binômiale puisqu'on totalise ici le résultat de n 1 + n 2 épreuves
indépendantes.
Les tables de la loi binômiale ne sont fournies que pour p < 1/2 . Pour
une valeur p > 1/2 , on utilise le résultat suivant :
P X (X = k) = P X (n − X = n − k) =
n
k
p
k (1 − p)
n−k
=
n
n − k
(1 − p)
n−k p
k
qui exprime que n − X B(n,1 − p), loi qui est tabulée puisque
1 − p < 1/2.
Lois usuelles 73
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