paramètres n et p = P(A), caractérisée par X (() = {0,1,...,n} et pour
k ∈ X (() :
P X (X = k) =
n
k
p
k (1 − p)
n−k
car
n
k
est le nombre d'échantillons de taille n comportant exactement k événements A, de probabilité p
k , indépendamment de l'ordre, et donc n − k événements A , de probabilité (1 − p)
n−k . On écrit X B(n, p). Pour calculer facilement les moments de cette loi, nous allons associer à chaque épreuve
i,1 i n, une v.a. de Bernoulli :
X i =
1s i A est réalisé
0s i A est réalisé
On peut alors écrire :
X = X 1 + X 2 + ...+ X n
d'où on déduit aisément :
E(X) = E
n
i=1
X i
=
n
i=1
E(X i ) = np
et :
V (X) = V
n
i=1
X i
=
n
i=1
V (X i ) = npq
car les v.a. X i sont indépendantes.
On vérifie bien que c'est une loi de probabilité :
n
k=0
P X (X = k) =
n
k=0
n
k
p
k (1 − p)
n−k = [ p + (1 − p)]
n = 1
Le calcul direct des moments de X peut s'effectuer à partir de la définition
générale, mais de façon beaucoup plus laborieuse :
E(X) =
n
k=0
k
n
k
p
k (1 − p)
n−k =
n
k=1
k
n!
k!(n − k)!
p
k q
n−k
=
n
k=1
n!
(k − 1)!(n − k)!
p
k q
n−k
= np
n
k=1
(n − 1)!
(k − 1)!(n − k)!
p
k−1 q
n−k = np
n−1
j=0
n − 1
j
p
j q
n−1− j
= np( p + q)
n−1 = np
Pour obtenir E(X
2 ) par un procédé de calcul identique, on passe par l'intermédiaire du moment factoriel E [X (X − 1)] = E(X
2 ) − E(X) :
72 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS