La fonction de répartition est définie par :
F (x) =
0s ix 0
q si 0 < x 1
1s i1 < x
Lois usuelles 71
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F(x)
01
q
p
x
1
Figure 3.2
Exemple 3.1
Dans une population de n individus, on associe à chacun d'eux une v.a.
de Bernoulli, indicatrice de possession d'un certain caractère A :
X i =
1 si i possède le caractère A
0 si i ne possède pas le caractère A
Le paramètre p = P(A) représente la proportion d'individus de la population qui possèdent ce caractère A .
Les moments de cette loi sont :
E(X) = 1 × P(A) + 0 × P(A) = P(A) = p
E(X
2 ) = 1
2 × P(A) + 0
2 × P(A) = P(A)
V (X) = E(X
2 ) − E
2 (X) = P(A) − P
2 (A) = P(A)P(A) = pq
µ 3 (X) = p(1 − p)
3 + (1 − p)(0 − p)
3 = p(1 − p)(1 − 2 p)
C. Loi binômiale
Si on effectue n épreuves successives indépendantes où on note à chaque fois la
réalisation ou non d'un certain événement A, on obtient une suite de la forme
AAAAA ...AAA. À cet événement élémentaire ω on associe le nombre X (ω)
de réalisations de A. On définit ainsi une v.a. X qui suit une loi binômiale de