Ainsi :
X (() = {a} ,P X (X = a) = P {ω ∈ / X (ω) = a} = P(() = 1
F(x) =
0s ix a
1s ix > a
Le graphe de F présente un saut de valeur 1 au point de discontinuité a, qu'on
appelle échelon de Heaviside.
70 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
F(x)
0
ax
1
Figure 3.1
Bien entendu, on obtient comme moments :
E(X) = a et V (X) = 0.
Rappelons que c'est la seule v.a. dont la variance est nulle.
B. Loi de Bernoulli
Soit A ∈ A un événement quelconque ; on appelle v.a. indicatrice de l'événement A, la v.a. définie par X = 1 A , c'est-à-dire :
X (ω) = 1 A (ω) =
1s iω ∈ A
0s iω ∈ A
Ainsi X (() ={0,1} avec :
P X (X = 0) = P {ω ∈ / X (ω) = 0} = P(A) = 1 − P(A)
P X (X = 1) = P {ω ∈ / X (ω) = 1} = P(A)
On dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p = P(A), ce qu'on écrit
symboliquement X B(1, p) ou sous la forme suivante :
X =
1 p
0 q = 1 − p