3) On calcule la f.r. de M n :
G (x) = P (M n < x) = P
n
i=1
(X i < x)
=
n
i=1
P (X i < x) = F
n (x)
On obtient la densité par dérivation :
g (x) = G
′ (x) = nF
n−1 (x) f (x)
Donc pour 0 x a :
g (x) = n
2
a
n
x
n−1
1 −
x
2a
n−1
1 −
x
a
Exercice n°13
La méthode la plus simple consiste à déterminer la fonction de répartition (f.r.) de la nouvelle variable, puis à la dériver pour obtenir la densité.
1) Par définition :
G(y) = P(Y < y) = P(aX + b < y) = P(aX < y − b)
Pour pouvoir exprimer cette probabilité à l'aide de la f.r. de X, il faut distinguer deux cas
suivant le signe de a.
Si a > 0 :
G(y) = P
X <
y − b
a
= F
y − b
a
g(y) = G
′ (y) =
1
a
f
y − b
a
Pour a < 0 :
G(y) = P
X >
y − b
a
= 1 − F
y − b
a
g(y) = G
′ (y) =−
1
a
f
y − b
a
Ainsi, pour a ∈ R
∗ , la densité de Y peut s'écrire :
g(y) =
1
|a|
f
y − b
a
2) La f.r. de Z est définie par H (z) = P(Z < z) = P(|X| < z) , donc H (z) = 0 pour
z 0. Pour z > 0 :
H (z) = P(−z < X < z) = F(z) − F(−z)
h(z) = H
′ (z) = f (z) + f (−z)
Remarquons que le changement de variable s'est effectué à l'aide de la fonction :
x → |x| qui n'est pas injective et cependant nous avons pu déterminer la loi de |X|. La
densité de Z présente une discontinuité pour z = 0 puisque h(z) → 2 f (0)>0 quand
z → 0
+ , alors que bien sûr H est continue, avec H (z) → F(0
+ ) − F(0
− ) = 0
= H (0).
66 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS