3) On obtient :
K (t) = P(T < t) = P(ln|X| < t) = P(|X| < e
t ) = H (e
t ) = F(e
t ) − F(−e
t )
k(t) = K
′ (t) = e
t
f (e
t ) + f (−e
t )
4) La fonction F étant dérivable est bien sûr continue ; comme de plus elle est strictement
monotone, elle admet une fonction réciproque F
−1 définie sur [0,1] et aussi strictement
monotone, donc pour 0 u 1 :
P(U < u) = P {F(X) −1 (u)}=F
F
−1 (u)
= u
La variable U = F(X) suit donc une loi uniforme sur [0,1] .
5) La variable V est bien sûr à valeurs entières, avec pour v ∈ N :
P(V = v) = P([X] = v) = P(v X Pour v entier négatif, on a P([X] = v) = P(v < X v + 1) , ce qui ne change rien
pour la valeur de cette probabilité puisque la loi de X est continue. Ainsi, pour tout
v ∈ Z , P(V = v) = F(v + 1) − F(v).
Exercice n°14
1) La fonction de répartition G de Y est nulle pour y 0 et pour y > 0 :
G(y) = P
−
√ y < X <
√ y
= F
√ y
− F
−
√ y
La densité s’obtient par dérivation, soit pour y > 0 :
g(y) =
1
2
√ y
f
√ y
+ f
−
√ y
=
1 + 3y
4
√ y
2) On obtient :
E(Y ) =
1
4
1
0
√ y + 3y
√ y
dy =
7
15
Variable aléatoire 67
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