Exercice n°10
1) On a F(x) = 0 pour x 0 et F(x) = 1 pour x 2. Pour 0 x 1 :
F(x) =
x
0
tdt =
x
2
2
Pour 1 x 2 :
F(x) = F(1) +
x
1
(2 − t)dt =−
x
2
2
+ 2x − 1
La médiane est le centre de symétrie de la distribution soit Md = 1.
2) On a h(x) = P(|X − 1| < x) = 0 pour x 0 et pour x > 0 :
h(x) = P(1 − x < X < 1 + x) = F(1 + x) − F(1 − x)
Ainsi h(x) = 1 si x 1 et pour 0 x 1 :
h(x) = 2x − x
2
Exercice n°11
On a F(x) = 0 pour x −3/2 ; pour −3/2 x −1/2 :
F(x) =
x
−3/2
1
2
du =
x
2
+
3
4
Pour −1/2 x 1/2 :
F(x) = F
−
1
2
=
1
2
Pour 1/2 x 3/2 :
F(x) =
1
2
+
x
1/2
1
2
du =
x
2
+
1
4
Et enfin, F(x) = 1 pour x 3/2 .
Exercice n°12
1) La f.r. F de X est nulle pour x 0, a pour valeur 1 pour x a et a pour expression,
quand 0 x a :
F (x) =
2
a
x
0
1 −
t
a
dt =
2
a
t −
t
2
2a
x
0
=
2x
a
1 −
x
2a
2) On obtient :
E (X) =
2
a
a
0
x −
x
2
a
dx =
2
a
a
2
2
−
a
3
3a
=
a
3
On calcule de même :
E
X
2
=
2
a
a
0
x
2 −
x
3
a
dx =
2
a
a
3
3
−
a
4
4a
=
a
2
6
On en déduit la variance :
V (X) = E
X
2
− E
2 (X) =
a
2
18
Variable aléatoire 65
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.