et plus généralement pour n 2 :
p n = P(X < n + 1) − P(X < n) =
1 −
1
n(n + 1)
−
1 −
1
n(n − 1)
=
2
n(n 2 − 1)
2) On obtient comme espérance :
E(X) =
∞
n=1
np n =
1
2
+
∞
n=2
2
(n − 1)(n + 1)
=
1
2
+
∞
n=2
1
n − 1
−
1
n + 1
=
1
2
+
1 −
1
3
+
1
2
−
1
4
+
1
3
−
1
5
+ ...
+
1
n − 3
−
1
n − 1
+
1
n − 2
−
1
n
+
1
n − 1
−
1
n + 1
+
1
n
−
1
n + 2
+ ...
=
1
2
+ 1 +
1
2
= 2
Par définition :
E(X
2 ) =
∞
n=1
n
2 p n =
1
2
+
∞
n=2
2n
(n − 1)(n + 1)
Or le terme général de cette série est équivalent à 2/n , terme de la série harmonique
divergente, donc cette variable aléatoire n'admet pas de moment d'ordre deux.
Exercice n°8
Par définition F(0) = 1/3 et, comme toute fonction de répartition, on vérifie que F est
continue à gauche en ce point :
F(0 − h) =
1
3
e
−h →
1
3
= F (0) quand h → 0
+
Par contre F(0 + 0) = 1 , donc F est discontinue à droite. La loi est mixte, avec un seul
point de probabilité non nulle :
P(X = 0) = F(0 + 0) − F(0) = 2/3
Exercice n°9
On a F(x) = 0 pour x −1 et F(x) = 1 pour x 1. Pour −1 x 0 :
F(x) =
3
4
x
−1
(1 + t)
1/2 dt =
1
2
(1 + x)
3/2
Pour 0 x 1 :
F(x) = F(0) +
3
4
x
0
(1 − t)
1/2 dt = 1 −
1
2
(1 − x)
3/2
64 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS