On calcule ensuite aisément :
E (X ) =
4
10
+
6
10
= 1 E
X
2
=
4
10
+
12
10
=
16
10
V (X ) =
6
10
=
3
5
Exercice n°5
On note (i, j) l'événement « avoir tiré les boules i et j » ; pour i = j il y a une seule
façon d'obtenir ce couple et deux pour i = j. On obtient ainsi :
P (X = 0) = P (0,0) = 0,
P (X = 1) = P (0,1) = 2 ×
1
10
×
2
9
=
2
45
,
P (X = 2) = P (0,2) + P (1,1) =
4
45
,
P (X = 3) = P (0,3) + P (2,1) =
10
45
,
P (X = 4) = P (2,2) + P (3,1) =
11
45
,
P (X = 5) = P (3,2) =
12
45
, P (X = 6) =
6
45
On en déduit :
E (X ) = 4
E
X
2
=
160
9
V (X ) =
16
9
Exercice n°6
On obtient :
p 1 =
a
a + b
p 2 = P(N 2 N 1 ) + P(N 2 B 1 ) = P(N 1 )P(N 2 |N 1 ) + P(B 1 )P(N 2 |B 1 )
= p 1
a + 1
a + b + 1
+ (1 − p 1 )
a
a + b + 1
=
a
a + b
De la même manière :
p n = p n−1
a + 1
a + b + 1
+ (1 − p n−1 )
a
a + b + 1
Par récurrence, si on suppose que p n−1 = p 1 on en déduit alors p n = p 1 .
Exercice n°7
1) On obtient :
p 1 = P(X = 1) = P(X < 2) = F(2) = 1 −
1
2
=
1
2
p 2 = P(X = 2) = P(X < 3) − P(X < 2) = F(3) − F(2) =
1
3
Variable aléatoire 63
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