L'application X ne peut prendre que les valeurs – 1, 0 et 1 avec :
X
−1 (−1) ={ω ∈ /f (ω) =−g(ω)}={a,b}∪({c,d}∩{c,d,e})
={a,b,c,d}∈A
X
−1 (0) ={ω ∈ /f (ω) = 0}={e}∈A
X
−1 (1) ={ω ∈ /f (ω) = g(ω)}=({a,b}∩{c,d,e}) ∪ ({c,d}∩{a,b})
=∅∈A
Donc X est bien une variable aléatoire dont la loi de probabilité est définie par :
P X (X = 0) = P({e}) =
2
5
et P X (X =−1) = P({a,b,c,d}) =
3
5
Exercice n°3
Si le nombre de parties jouées est deux ou trois, c'est que vous avez gagné les deux dernières parties et donc P(N = 2) = p
2 et P(N = 3) = qp
2 où q = 1 − p . Vous avez
gagné, événement noté E
+ , à l'issue de quatre parties avec une probabilité qui est :
P({N = 4}∩E
+ ) = pqp
2 + q
2 p
2 = qp
2
La probabilité de perdre à l'issue des quatre parties jouées est :
P
− = 1 − P(N = 2) − P(N = 3) − P({N = 4}∩E
+ )
L'espérance de gain à ce jeu est alors :
E(G) =
4
k=2
(40 − 4k)P({N = k}∩E
+ ) − 25P
−
= 32 p
2 + 28qp
2 + 24qp
2 − 25(1 − p
2 − 2qp
2 )
= 57 p
2 + 102qp
2 − 25 =−102 p
3 + 159 p
2 − 25
Le jeu est considéré comme équitable si cette espérance est nulle puisqu'il n'y a pas de
mise initiale. L'espérance est bien sûr une fonction croissante de p, de valeur – 25 pour
p = 0 et 32 pour p = 1. Pour p = 1/2 on obtient E(G) = 2 , donc le jeu sera considéré comme équitable pour une valeur de p un peu inférieure à 1/2.
Exercice n°4
Le nombre possible de coïncidences est 0,1 ou 2. Aucune coïncidence correspond au tirage d'une boule 2, puis d'une boule 1 :
P (X = 0) = P (21) =
3
5
×
2
4
=
3
10
Une coïncidence unique peut se produire au premier ou au second tirage :
P (X = 1) = P (11) + P (22) =
2
5
×
1
4
+
3
5
×
2
4
=
4
10
Pour deux coïncidences :
P (X = 2) = P (12) =
2
5
×
3
4
=
3
10
62 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS