1) Déterminer la fonction de répartition (f.r.) de X.
2) Calculer E (X) et V (X) .
3) Soit X 1 ,. . . ,X n des v.a. indépendantes, de même loi que X. Déterminer la f.r., puis la
densité, de la v.a. M n = max {X 1 ,...,X n } .
Exercice n°13
Soit X une v.a. de densité f continue et strictement positive, de fonction de répartition F.
Exprimer à l'aide de f et F la densité et la fonction de répartition de chacune des v.a. suivantes.
1) Y = aX + b, a ∈ R
∗ , b ∈ R .
2) Z =|X| .
3) T = ln|X| .
4) U = F(X) .
5) V = [X] , partie entière de X.
Exercice n°14
Soit X une variable aléatoire de densité f (x) =
1
4
+
3
4
x
2 pour x ∈ [−1,1] et nulle en
dehors de cet intervalle.
1) Déterminer la densité de la v.a. Y = X
2 .
2) Calculer E(Y ).
Corrigés
Exercice n°1
1) On a X
−1 (1) ={a} /
∈ A donc l'application X n'est pas une v.a. et on ne peut donc pas
lui associer une loi de probabilité.
2) On a :
P(X = Y ) = P({ω ∈ / X (ω) = Y (ω)}) = P({c}) = 1
donc ces deux applications sont égales avec une probabilité égale à 1 (événement certain). L'application Y est constante, avec Y
−1 (3) = , donc c'est une variable aléatoire
certaine : P(Y = 3) = 1. Cependant on ne peut pas en conclure que la loi de X est la
même, puisque X n'est pas une variable aléatoire et que cette notion n'a donc pas de sens.
Exercice n°2
L'algèbre engendrée par la partition est :
A ={∅,{a,b},{c,d},{e},{a,b,e},{c,d,e},{a,b,c,d},,}
Variable aléatoire 61
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