Exercice n°7
La fonction de répartition F d'une v.a. X est définie par :
F(x) =













0s i x 1
1 − 1/(1 × 2)
si 1 < x 2
1 − 1/(2 × 3)
si 2 < x 3
...
...
1 − 1/n(n + 1) si n < x n + 1
...
...
1) Calculer les probabilités p n = P(X = n),n ∈ N
∗ .
2) Calculer E(X) et V (X) .
Exercice n°8
Soit X une v.a. de fonction de répartition F définie par :
F(x) =
e
x /3 pour x 0
1
pour x > 0
La loi de X est-elle continue ?
Exercice n°9
Soit X une variable aléatoire de densité nulle en dehors de [−1,1] et dont l’expression
pour x ∈ [−1,1] est :
f (x) =
3
4
√
1 −|x|
Déterminer la fonction de répartition de X.
Exercice n°10
Soit X une variable aléatoire de densité f (x) = x pour x ∈ [0,1], f (x) = 2 − x pour
x ∈ [1,2] et nulle en dehors de ces intervalles.
1) Déterminer la fonction de répartition de X et en déduire la médiane de cette loi.
2) Calculer P{|X − 1| < x} pour x réel quelconque.
Exercice n°11
Soit X une variable aléatoire de densité f (x) =
1
2
pour x ∈
−
3
2
,−
1
2
, et x ∈
1
2
,
3
2
,
et nulle en dehors de ces deux intervalles.
Déterminer la fonction de répartition de X.
Exercice n°12
Soit X une v.a. de densité :
f (x) =
2
a
1 −
x
a
si 0 x a
0
sinon
où a est un réel strictement positif.
60 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS