Énoncés
Exercice n°1
Soit l'ensemble fondamental ={a,b,c} et la tribu associée A = {∅,{a,b},{c},,} ,
les événements a et b étant indiscernables. On définit l'application réelle X sur par
X (a) = 1 , X (b) = 2 et X (c) = 3 .
1) S'il y a équiprobabilité des événements élémentaires, peut-on définir la loi de probabilité de X ?
2) Si la probabilité P est définie sur ((,A) par P({c}) = 1 et si on définit l'application
Y sur par Y (ω) = 3 pour tout ω de , calculer P(X = Y ) . Peut-on en conclure que
X et Y ont même loi de probabilité ?
Exercice n°2
Soit l'ensemble fondamental ={a,b,c,d,e} et la partitition = {{a,b},{c,d},{e}}
sur laquelle on définit la probabilité P par P({a,b}) = 2/5 , P({c,d}) = 1/5 et
P({e}) = 2/5 . Deux applications f et g sont définies sur par f (a) = f (b) = g(c)
= g(d) = g(e) =−2 , f (c) = f (d) = g(a) = g(b) = 2 et f (e) = 0 . Peut-on définir la loi de probabilité de l'application X = f /g ?
Exercice n°3
Vous participez à un jeu où vous avez la probabilité p de remporter une partie. Si vous
gagnez deux parties consécutives le jeu s'arrête et vous emportez un gain de 40 − 4N
euros, N étant le nombre total de parties jouées. Le nombre maximum de parties jouées
est fixé à quatre et vous donnez à votre adversaire dans ce jeu la somme de 25 euros en
cas de perte. Ce jeu vous paraît-il équitable ?
Exercice n°4
Une urne contient cinq boules, deux qui portent le numéro 1 et trois qui portent le numéro 2. On effectue deux tirages successifs sans remise dans cette urne. On appelle coïncidence le fait de tirer une boule de numéro i au i-ème tirage, avec i = 1,2. Déterminer
la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui représente le nombre de coïncidences
observées, puis calculer E (X) et V (X) .
Exercice n°5
Une urne contient une boule qui porte le numéro 0, deux qui portent le numéro 1 et quatre
qui portent le numéro 3. On extrait simultanément deux boules dans cette urne.
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui représente la somme des
numéros obtenus puis calculer E (X) et V (X) .
Exercice n°6
On considère n urnes qui contiennent chacune a boules noires et b boules blanches. On
tire au hasard une boule de l’urne U 1 que l’on place ensuite dans l’urneU 2 . Puis, on tire
au hasard une boule de l’urne U 2 que l’on place ensuite dans l’urne U 3 . Et ainsi de suite,
la boule tirée de l’urne U n−1 étant placée dans l’urne U n . On note p n la probabilité de
tirer une boule noire de l’urne U n . Calculer p 1 , p 2 et en déduire par récurrence la valeur
de p n .
Variable aléatoire 59
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Exercices
Exercice n°1
Soit l'ensemble fondamental ={a,b,c} et la tribu associée A = {∅,{a,b},{c},,} ,
les événements a et b étant indiscernables. On définit l'application réelle X sur par
X (a) = 1 , X (b) = 2 et X (c) = 3 .
1) S'il y a équiprobabilité des événements élémentaires, peut-on définir la loi de probabilité de X ?
2) Si la probabilité P est définie sur ((,A) par P({c}) = 1 et si on définit l'application
Y sur par Y (ω) = 3 pour tout ω de , calculer P(X = Y ) . Peut-on en conclure que
X et Y ont même loi de probabilité ?
Exercice n°2
Soit l'ensemble fondamental ={a,b,c,d,e} et la partitition = {{a,b},{c,d},{e}}
sur laquelle on définit la probabilité P par P({a,b}) = 2/5 , P({c,d}) = 1/5 et
P({e}) = 2/5 . Deux applications f et g sont définies sur par f (a) = f (b) = g(c)
= g(d) = g(e) =−2 , f (c) = f (d) = g(a) = g(b) = 2 et f (e) = 0 . Peut-on définir la loi de probabilité de l'application X = f /g ?
Exercice n°3
Vous participez à un jeu où vous avez la probabilité p de remporter une partie. Si vous
gagnez deux parties consécutives le jeu s'arrête et vous emportez un gain de 40 − 4N
euros, N étant le nombre total de parties jouées. Le nombre maximum de parties jouées
est fixé à quatre et vous donnez à votre adversaire dans ce jeu la somme de 25 euros en
cas de perte. Ce jeu vous paraît-il équitable ?
Exercice n°4
Une urne contient cinq boules, deux qui portent le numéro 1 et trois qui portent le numéro 2. On effectue deux tirages successifs sans remise dans cette urne. On appelle coïncidence le fait de tirer une boule de numéro i au i-ème tirage, avec i = 1,2. Déterminer
la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui représente le nombre de coïncidences
observées, puis calculer E (X) et V (X) .
Exercice n°5
Une urne contient une boule qui porte le numéro 0, deux qui portent le numéro 1 et quatre
qui portent le numéro 3. On extrait simultanément deux boules dans cette urne.
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui représente la somme des
numéros obtenus puis calculer E (X) et V (X) .
Exercice n°6
On considère n urnes qui contiennent chacune a boules noires et b boules blanches. On
tire au hasard une boule de l’urne U 1 que l’on place ensuite dans l’urneU 2 . Puis, on tire
au hasard une boule de l’urne U 2 que l’on place ensuite dans l’urne U 3 . Et ainsi de suite,
la boule tirée de l’urne U n−1 étant placée dans l’urne U n . On note p n la probabilité de
tirer une boule noire de l’urne U n . Calculer p 1 , p 2 et en déduire par récurrence la valeur
de p n .
Variable aléatoire 59
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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