B. Densité
Si la loi de probabilité P X d'une v.a. X admet une densité, celle-ci est la dérivée de la
fonction de répartition de cette loi. Cependant, la définition d'une densité ne se fait pas à
partir de cette notion analytique de dérivabilité, mais à partir de notions plus complexes
que nous allons évoquer. Cela nécessite d'introduire la mesure de Lebesgue λ sur (R,B) ,
qui est la mesure diffuse prolongeant la notion de longueur, la mesure de l'intervalle
]a,b] étant définie par λ (]a,b]) = b − a. Si pour tout borélien B ∈ B tel que
λ (B) = 0 on a P X (B) = 0 , on dit que la loi de probabilité P X de X est absolument
continue par rapport à la mesure de Lebesgue et alors cette loi admet une densité.
C. Support
Le support d'une loi P X est l'ensemble de tous les points x tels que tout intervalle ouvert
contenant x a une probabilité positive :
∀ε>0, P X {]x − ε,x + ε[} > 0
Exemple 2.18
Soit P X la loi de probabilité définie sur l'ensemble des rationnels Q = {q n } n∈N
par P X (q n ) =
1
2 n . C'est une loi discrète mais dont le support est pourtant R car
tout intervalle ]x − ε,x + ε[ contient au moins un rationnel, quel que soit
ε>0 et par conséquent P X (]x − ε,x + ε[) > 0 pour tout x ∈ R.
58 STATISTIQUE ET PROBABILITÉS