A. Application mesurable
La notion de variable aléatoire réelle peut être définie de façon générale, sans distinction
entre les cas continu et discret, en introduisant la notion d'application mesurable. Pour
cela, nous définissons sur l'espace métrique R sa tribu borélienne, notée B , qui est la
tribu engendrée par les intervalles ouverts (ou fermés), c'est-à-dire la plus petite tribu
contenant cette famille d'intervalles. Une variable aléatoire réelle X est alors définie
comme une application mesurable de (,A) dans (R,B) , c'est-à-dire telle que :
∀B ∈ B, X
−1 (B) ∈ A
En fait, pour vérifier que X est bien une application mesurable, il suffit de vérifier
cette condition pour une famille particulière d'intervalles, comme celle des ouverts de la
forme ]−∞,x[ , c'est-à-dire de vérifier que :
∀x ∈ R, X
−1 (]−∞,x[) ∈ A
Notons comme propriété utile que toute application continue de (R,B) dans (R,B)
est mesurable.
Variable aléatoire 57
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
. V (X) = E [X − E (X)]
2 = E
X
2
− E
2 (X)
Le calcul de la variance s'effectue presque toujours à partir de la formule développée : espérance du carré moins carré de l'espérance.
Principales propriétés de ces moments :
∀a ∈ R, ∀b ∈ R, E (aX + b) = aE (X) + b
V (aX + b) = a
2 V (X) ;
∀λ ∈ R, ∀µ ∈ R, E (λX + µY ) = λE (X) + µE (Y )
et, si les v.a. X et Y sont indépendantes, alors :
V (λX + µY ) = λ
2 V (X) + µ
2 V (Y )
Pour déterminer la loi de probabilité de la v.a. Y = h (X) ,m ême dans
le cas où la loi de X est définie par sa densité, il est presque toujours préférable de déterminer au préalable sa fonction de répartition, et éventuellement de dériver ensuite pour obtenir la densité.
Compléments
La notion de variable aléatoire réelle peut être définie de façon générale, sans distinction
entre les cas continu et discret, en introduisant la notion d'application mesurable. Pour
cela, nous définissons sur l'espace métrique R sa tribu borélienne, notée B , qui est la
tribu engendrée par les intervalles ouverts (ou fermés), c'est-à-dire la plus petite tribu
contenant cette famille d'intervalles. Une variable aléatoire réelle X est alors définie
comme une application mesurable de (,A) dans (R,B) , c'est-à-dire telle que :
∀B ∈ B, X
−1 (B) ∈ A
En fait, pour vérifier que X est bien une application mesurable, il suffit de vérifier
cette condition pour une famille particulière d'intervalles, comme celle des ouverts de la
forme ]−∞,x[ , c'est-à-dire de vérifier que :
∀x ∈ R, X
−1 (]−∞,x[) ∈ A
Notons comme propriété utile que toute application continue de (R,B) dans (R,B)
est mesurable.
Variable aléatoire 57
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
. V (X) = E [X − E (X)]
2 = E
X
2
− E
2 (X)
Le calcul de la variance s'effectue presque toujours à partir de la formule développée : espérance du carré moins carré de l'espérance.
Principales propriétés de ces moments :
∀a ∈ R, ∀b ∈ R, E (aX + b) = aE (X) + b
V (aX + b) = a
2 V (X) ;
∀λ ∈ R, ∀µ ∈ R, E (λX + µY ) = λE (X) + µE (Y )
et, si les v.a. X et Y sont indépendantes, alors :
V (λX + µY ) = λ
2 V (X) + µ
2 V (Y )
Pour déterminer la loi de probabilité de la v.a. Y = h (X) ,m ême dans
le cas où la loi de X est définie par sa densité, il est presque toujours préférable de déterminer au préalable sa fonction de répartition, et éventuellement de dériver ensuite pour obtenir la densité.
Compléments